曲率的计算公式

一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径§3.7曲率曲线的弯曲线程度与哪些因素有关.怎样度量曲线的弯曲程度？上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、弧微分•曲线的基点与正向设函数f(x)在区间(ab)内具有连续导数.在曲线yf(x)上取固定点M0(x0y0)作为度量弧长的基点并规定依x增大的方向作为曲线的正向.下页上页下页铃结束返回首页s0s0•有向弧段的值MM0(对曲线上任一点M(xy)规定有向弧段的值s(简称弧)如下s的绝对值等于这弧段的长度当有向弧段MM0(的方向与曲线的正向一致时s0相反时s0.显然弧s是x的单调增加函数ss(x).下页一、弧微分上页下页铃结束返回首页弧微分公式设xxDx为(ab)内两个邻近的点它们在曲线yf(x)上的对应点为MN并设对应于x的增量Dx弧s的增量为Ds.因为当Dx0时Ds~MN又Dx与Ds同号所以由此得弧微分公式202200)(1lim||)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD21y.dxyds21.202200)(1lim||)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD202200)(1lim||)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD首页上页下页铃结束返回首页二、曲率及其计算公式提示：可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.下页观察与思考：观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关.怎样衡量曲线的弯曲程度？上页下页铃结束返回首页记sKsDDD0lim称K为曲线C在点M处的曲率.记sKDD称K为弧段MN的平均曲率.平均曲率：曲率：下页曲率设曲线C是光滑的曲线上点M对应于弧s在点M处切线的倾角为曲线上另外一点N对应于弧sDs在点N处切线的倾角为D.上页下页铃结束返回首页曲率：曲率的计算公式在0limDssDDdsd存在的条件下dsdK.记sKsDDD0lim称K为曲线C在点M处的曲率.上页下页铃结束返回首页设曲线C的方程为yf(x)且f(x)具有二阶导数.因为tany所以sec2dydx在0limDssDDdsd存在的条件下dsdK.又知ds21ydx从而得曲率的计算公式232)1(||yydsdK.dxyydxydxyd2221tan1sec.dxyydxydxyd2221tan1sec.dxyydxydxyd2221tan1sec.下页曲率的计算公式上页下页铃结束返回首页232)1(||yydsdK.例1计算等边双曲线xy1在点(11)处的曲率.曲率的计算公式：曲线在点(11)处的曲率为因此y|x11y|x12.解由xy1得21xy32xy.232)1(||yyK232))1(1(22221.解21xy32xy.232)1(||yyK232))1(1(22221.232)1(||yyK232))1(1(22221.下页上页下页铃结束返回首页例2抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？解由yax2bxc得y2axby2a代入曲率公式得显然当2axb0时曲率最大.因此抛物线在顶点处的曲率最大此处K|2a|.232])2(1[|2|baxaK.曲率最大时xab2对应的点为抛物线的顶点.下页232)1(||yydsdK.曲率的计算公式：上页下页铃结束返回首页讨论：3.半径为R的圆上任一点的曲率是什么？1.直线yaxb上任一点的曲率是什么？2.若曲线的参数方程为xj(t)yy(t)那么曲率如何计算？提示：1.设直线方程为yaxb则yay0.于是K0.3.圆的参数方程为xRcostyRsint.2/322)]()([|)()()()(|ttttttKyjyjyj.2.首页上页下页铃结束返回首页三、曲率圆与曲率半径上述圆叫做曲线在点M处的曲率圆其圆心叫做曲率中心其半径r叫做曲率半径.曲率与曲率半径关系曲率圆与曲率半径设曲线在点M处的曲率为K(K0).在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为rK1的圆.rK1Kr1.下页曲率圆曲率半径曲率中心上页下页铃结束返回首页例3设工件表面的截线为抛物线y0.4x2.现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适？解砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径.抛物线顶点处的曲率半径为rK11.25.因此,选用砂轮的半径不得超过1.25单位长即直径不得超过2.50单位长.y0.8xy0.8y|x00y|x00.8.把它们代入曲率公式得232)1(||yyK0.8.结束