曾瑾言第四版课后习题第7章

第七章：粒子在电磁场中的运动P367——7.1，7.2证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：zyxcqivvBˆ,2（1）xzycqivvBˆ,2（2）yxzcqivvBˆ,2（3）[证明]根据正则方程组：xxpHxvˆ，qAcqpH221ˆxxxAcqpvˆˆ1ˆ同理yyyAcqpvˆˆ1ˆzyxppppˆ,ˆ,ˆˆ是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方：yyxxyxAcqpAcqpvvˆˆ,ˆˆ1,2=yxyxyxyxAAcqpAcqApcqppˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ122222（4）正则动量与梯度算符相对应，即ipˆ，因此0ˆ,ˆyxpp又Aˆ仅与点的坐标有关0ˆ,ˆyxAAzxyxyyxBciqyAxAicqiAcqAxicqvv2222y,,,（因ABˆˆ）其余二式依轮换对称写出。P368证明在规范变换下（1）Acqppjˆˆ21（2）Acqpvˆ（机械动量的平均值）都不变（3）（证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P36820式）ciqfe（4）则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度：ciqfciqfciqfciqfeeee又设变换后几率流密度是j，将（4）代入（2）式右方，同时又代入trfAA,ciqfciqfciqfciqfciqfciqfeetrfAcqePeepej,21（5）注意到算符的对易关系推广到三维：)(F)(F,ˆrirp（6）令ciqfer)(F则有：ciqfciqfciqfciqfefcqeipeepfcqpeepciqfciqf（7）fcqpeepciqfciqf(8)将（7）(8)代入（5）式等号右方第一项第二项，（5）式成为：jAcqppfAcqfcqpeefcqpeejciqfciqfciqfciqf2121（9）在证明第3式时，设变换后的v是v。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和)4(的矢势的变换式：defAecqdepedefAcqpedAcqpAcqpvciqfciqfciqfciqfciqfciqfˆˆˆˆˆˆ前式第一个积分可重复用（7）式，得：vdAcqpdfAcqdfcqpeevciqfciqfˆˆˆ命题得证P382——7.47.1——3.137.2——3.127.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场B中运动，求能级本征值和本征。（参《导论》225P）解：以电场方向为x轴，磁场方向为z轴，则0,0,，BB,0,0（1）去电磁场的标势和矢势为x，0,,0BxA（2）满足关系，AB粒子的Hamiton量为xqpxCqBppuHzyx22221（3）取守恒量完全集为zyppH,,，它们的共同本征函数可写成zpypizyexzyx,,（4）其中yP和zP为本征值，可取任意函数。zyx,,满足能量本证方程：zyxEzyxH,,,,因此x满足方程xExxqxpxCqBppuzyx22221（5）亦即，对于x来说，H和F式等价：2222222222122zyyppuxpuCqBqxuCBqxuH22202222022222221222zyppuxuCBqxxuCBqxu（6）其中upBCqBuCpuCqBqBquCxyy2220（7）式（6）相当于一维谐振子能量算符uCBqxxuxu,212202222再加上两项函数，因此本题能级为222022221221zyppuxuCBqnE222221221zypupBCBuCuCqBn（8）其中yP和zP为任意实数，,2,1,0n式（4）中为以x为0xx变量的一维谐振子能量本征函数，即202eHxxxnn（9）nH为厄密多项式，00xxCBqxxu。7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场B中运动，求能级本征值和本征函数。解：以电场方向为x轴，磁场方向为z轴，则0,0,，BB,0,0（1）去电磁场的标势和矢势为x，0,,0BxA（2）满足关系，AB粒子的Hamiton量为xqpxCqBppuHzyx22221（3）取守恒量完全集为zyppH,,，它们的共同本征函数可写成zpypizyexzyx,,（4）其中yP和zP为本征值，可取任意函数。zyx,,满足能量本证方程：zyxEzyxH,,,,因此x满足方程xExxqxpxCqBppuzyx22221（5）亦即，对于x来说，H和F式等价：2222222222122zyyppuxpuCqBqxuCBqxuH22202222022222221222zyppuxuCBqxxuCBqxu（6）其中upBCqBuCpuCqBqBquCxyy2220（7）式（6）相当于一维谐振子能量算符uCBqxxuxu,212202222再加上两项函数，因此本题能级为222022221221zyppuxuCBqnE222221221zypupBCBuCuCqBn（8）其中yP和zP为任意实数，,2,1,0n式（4）中为以x为0xx变量的一维谐振子能量本征函数，即202eHxxxnn（9）nH为厄密多项式，00xxCBqxxu。7.1设带电粒子相互的均匀电场E和均匀磁场B中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为z轴，电场方向为x轴方向）[解]为使能量本征方程能够求得，可以这样选择矢势，使0xABxAy0zA设电场E的大小是,选择标势)(rV，使场沿着x轴qdxdV，qxV哈密顿算符是：qxpxBcqxpcqBppqxpBxcqppHzyyxzyx}2ˆˆ{21})ˆ(ˆ{21ˆ22222222（1）Hˆ中不出现y和z，因此0]ˆ,ˆ[ypH0]ˆ,ˆ[zpH可以依照本章中§7。2均匀磁场中带电粒子的运动的解法，先求能量本征函数，由于ypˆ，zpˆ守恒，波函数包括这两个算符的本征函数作为其构成因子：zpypizyexXzyx,,（2）代入能量本征方程式：22222222222])(2[2ExcqBxpqxycqBizyx整理，并约去同因式)(zzpyypie后，得到X（x）的本征方程)()(]})(2[212{222222222xEXxXppxqeqBpxcBqxzyy)()(]})(212[)()(22{222222222xEXxXBcpppqBcqBcpxcqBxyzyy（3）或者简写作)()(})(22{0202222xEXxXExxx式中20,qBqBqcpxcqBy，2220)(212BcpppEyzy方程式（3）明显的是一个沿x方向振动的谐振子的定态薛定谔方程式，它的固有频率是，振动中心在0xx一点上，同时具有能量本征值：0EE其中0E是有关于y、z方向的分能量，按一维谐振子理论，它的能级是cqBnnEE)21()21(0(4)它的本征函数写作)]([)(0)(2120xxHeCxXnxxn（5）这个运动电荷的总能量E是：cqBnBcpppcqBnEEyzy)21()(212)21(2220（6）7.2设带电粒子在均匀磁场B及三维各向同性谐振子场22021)(rrV中运动，求能谱公式。[解]本题采用柱面座标时，可以像第4题那样，将本征函数表示成合流超几何级数，因而决定能量本征值，解法也类似。粒子座标为),,(z令0,0,21zAABA此外应将谐振子的弹性力场写成柱面形成：)(21),(2220zzV根据本章习题4中合算符公式（2）再添上前述附加项：)(ˆ),(ˆ}22{})28(2]111[2{)(21)2(212]11[2ˆ2122022222022222222222202222222222zHHzzcBqcBiczcqBcBiczH（1）哈氏算符的两面部分1ˆH与,有关，第二部分)(ˆ2zH与z有关，这二者是对易，因此能量本征值也分二部分，可以分别计算，也可有分离变量法将本征函数分为二部分：)(),(),,(Zcz（2）得到：ZEZzZECcBqCcBicCCCC2202221220222222222222)28(2]11[2（3）（3）式左方的哈氏算符),(ˆ1H可以和ilzˆ对易，因此),(c可以和这个算符的本征函数有共同因式可设)(),(ReCim（4）但,2,1,0m将（4）代入（3）得：RERcBqRcBmqRmRR122022222222)28(2]1[2整理后写成：0])44()2[(12222220222222122RmccBqEcmBqddRdRd(5)这个方程式和第4题的方程式（5）是相似的，其中，本题方程式（5）的212E相当于第4题（5）式的得222kE，此外（5）式多出一项R22202这是谐振紫弹性力场势能，第四题的径向方程式是：0]4)2[(122222222122