最值的运用

最值的有关运用摘要：在实际应用中常常会遇到有关最大值和最小值的问题，如成本最小，利润最大等。这类问题可归结为求目标函数在某一范围的最值。关键词：最值，单调性，极值，求导，实际应用，数形结合，线性规划正文：在实际应用中常常会遇到有关最大值和最小值的问题，如成本最小，利润最大等。这类问题可归结为求目标函数在某一范围的最值。最值的定义：设函数y=f(x)定义域为I，如果存在实数M，使得任意x∈I都有f(x)≤M,同时有f(a)=M（a∈I），则M为函数的最大值；同理，可得最小值定义。由闭区间上连续函数性质可知，如果最值在区间内取得，由极值定义可知，最值必为函数极值。由于最值可能在定义域端点取得，因此需要进行比较。导数法求最值：1、求出F(X)在（A，B）内的驻点和导数不存在的点，设他们为x1,x2,x3,…..2、比较函数值f(a),f(b)f(x1),f(x2)…..的大小，最大极为最大值最小极为最小值配方法：求二次函数基本方法，通过对y=af(x)^2+bf(x)+c配方，用二次函数的性质解决。还原法：通过引入新的变量代换原有变量或代数式，简化原有问题，方便求解。如三角代换。不等式法：利用均值不等式及其一系列的变形式来解决函数最值。基本不等式：a^2+b^2≥2ab.函数单调性法：先求出函数的单调性，然后根据函数单调性求函数最值。最值的实际运用解题的关键是根据题意，建立恰当的函数关系式。1、分析问题中的变量关系2、建立函数关系式在实际问题中，对自变量常常有多个约束条件，常用拉格朗日乘数法求值，简化运算过程。最值的运用有关例题1、设)(xf是定义在),(上以2为周期的周期函数,且)(xf为偶函数,已知在区间[2,3]上)(xf=－2(x－3)2+4,（Ⅰ）求]2,1[x时)(xf的解析式；（Ⅱ）若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，另两个顶点C、D在函数)20)((xxfy的图象上，求这个矩形面积的最大值.解（Ⅰ）设,342,21xx);21(4)1(2)4()(2xxxfxf（Ⅱ）设,10x则322x，,4)1(2)2()(2xxfxf当;4)1(2)(,202xxfx时设),10)(0,(xxA∴矩形ABCD面积],)1(2)[1(4])1(24)[1(222xxxxS令),2(4)(,10,13tttfSttx,360)32(42ttS且S左正右负，.9616maxS2、一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有254cm的面积，问应如何设计十字型宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.解设,2hxy由条件知:,5442xhx即,4542xxh设外接圆的半径为R，即求R的最小值，,55425252),20(1085585880454)(2),22(2)2(422224222222222RRxxxxxxxxxxfRhhxxxhxR等号成立时，,2108522xxx∴当2x时R2最小，即R最小，从而周长l最小，此时.152,2cmxhycmx3、铁路上AB段的距离为100km，c厂离A处20km，AC垂直AB，为运输方便，要在AB线上选择一点D向工厂修建一条公路，已知一单位货物铁路公路运输费用比为3:5，为使货物从供应站B运到工厂C的费用最低，D该在哪里？解设铁路运费为3k(k0),则公路运费为5k，设D点距Axkm，则所需的总费用为F（x）.由题意得F(x)=3k(100-x)+5k√,0≤x≤100F’(x)=-3k+5k√令F’(x)=0解得x=15最值问题更也出现在经济活动中，包括物品的定价，生产计划，4、假设某工厂生产某件产品x千件的成本是c(x)=x^3-6x^2+15x,售出该产品x千件收入为r(x)=9x，问是否存在一个取得最大利润的生产水平？如果存在，求出该值。解由题意得，售出x千件产品的利润为p(x)=r(x)-c(x)如果利润最大则函数p(x)取得最大值，在p’（x）=0处取得即r’(x)=c’(x)得x^2-4x+2=0解得√x1=0.586x2=3.414P’’(x)=-6x+12,p’’(x1)0,p”(x2)0所以x1=0.586发生局部亏损,x2=3.414达到最大利润在经济学中，c’(x)为边际成本，r’(x)为边际收入，p’(x)为边际利润。在给出最大利润的生产水平上，边际收入等于边际成本，即r’(x)=c’(x)。