最小电缆建设费用的研究

最小电缆建设费用的研究装备9209037047姚晟摘要：若A,B在河边，将题目转化为简单的最值问题用matlab软件求出；若A,B不在河边，转化为光学问题，求出电缆与法线夹角的正弦的比，即可得出最佳方案。关键词：电缆河边最小千米引言：数学建模开课到现在已经有三个多星期了，通过这一段时间的学习我们有了不少的收获。下面是对课本第一章课后习题第二题的分析。正文：一．问题提出1条河宽1km，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离是4km，今须铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆修建费用为2万元/km，水下电缆为4万元/km，假定河两岸是直线，问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小？二．问题研究若A,B在河边：设施工费用为W，有W=x+ysqrt（y^2-1）+x=sqrt15解得W=2(sqrt15-sqrt(y^2-1))+4y问题变为求W关于y函数的最值问题，运用matlab软件即可求出答案。三．问题解决先采用图像法：按如下输入commandwindow,生成图像：将图像在最小值点放大：由图像可得最小值点余约为（1.1582，11.2101）再运用相关命令求最小值：x=3.2957即修建费用最小为11.2101万元修建方案如下：四．问题拓展若A,B不在河边：用光学知识探究这个问题可以证明当光线由介质I到介质II所用时间最少，则sina/sinb=v1/v2(a,b为折射前后与法线的夹角），此题中“所用时间”相当于成本，1/v1和1/v2相当于每千米电缆在地下，水下成本，所以由此可以确定电缆架设方向与光线折射方向类似，具体计算结果也与公式sina/sinb=v1/v2相似。设电缆由A到达河边C,再到达对岸D最后到B.由条件算出与法线夹角的正弦的比由条件可得sina/sinb=2之后，可得AC,CD,BD出在水平方向投影的长度之比，即可得出最佳方案。结论：若A,B在河边，先由A沿河岸铺设地下电缆3.2957km，再从此处向B直线铺设水下电缆1.1547km，此时为最小修建费用11.2101万元。若A,B不在河边，当sina/sinb=2时总修建费用最小。参考文献：1.《数学建模实验》2.《MATLAB软件与基础数学实验》附录：