抛物型方程讲义No5

§5算子半群方法及其应用一、基本思想以热传导方程的初边值问题为例介绍算子半群方法，它亦运用于双曲型方程、Schrodinger方程等.考虑用分离变量法求解0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(),0txxuuxututtuxuxx（1）可得201(,)sinnntnuxtuenx，（2）其中0002()sinnuuxnxdx.解的分析：（A）若20()[0,]uxL，则级数（2）在0t时绝对收敛，且对0，t时级数（2）及其关于x或t逐项求导所得的级数均一致收敛.（B）由（A）可知（2）中给出的(,)uxt满足（1）中方程和边界条件；又由22222000110sin()()12nntnntnnuenxuxdxue可知，当0t时，(,)uxt在2L中收敛于0()ux，即满足（1）中的初始条件.故按上述意义，（2）中给出的(,)uxt满足（1），成为该初边值问题的解.（C）在（2）中将t固定，把（2）视为从0()ux到(,)uxt的一个映射，记为()St，即有0(,)()()uxtStux（3）对tR，()St是22[0,](0,)LL的一个线性映射.若12,ttR，对20()[0,]uxL，211001()()sinntnnStuxuenx，且221221221001()01201()()()sinsin()()ntntnnnttnnStStuxueenxuenxSttux故2112()()()StStStt，12,0tt（4）注意到对20()[0,]uxL，00(0)()()Suxux，故(0)SI（恒同算子）综上，算子族()|SttR构成单参数半群.（D）()St是一个单参数线性连续压缩算子半群.因为对20()[0,]uxL，由于0t时，00()Stuu，因此0()Stu当tR时关于t为强连续的.又由于在2[0,]L中，12221222001122001(,)sin()2()()2nntnntnntntnuxtuenxueeueux（6）从而()1tSte，即()St是压缩算子.推广：以上方法具有普适性，可用来求解随时间演化的PDE初边值问题，如000tduAudtuu（7）其中A为定义在某个特定函数空间上的偏微分算子（或算子矩阵），当然该初边值问题的边界条件给定，以适当的方式出现在A的定义域中.问题：如何利用算子半群()St表示（7）中的解？即如何利用A诱导一个单参数算子族()|SttR？二、无穷小生成元定义1设H为一给定的Hilbert空间，()|SttR是H上的一族线性算子，且满足以下条件：（1）(0)SI；（2）2112()()()StStStt，12,0tt；（3）()[0,),StxCH，xH；（4）()1St，则称()St是单参数线性连续压缩算子半群，简称压缩算子半群.定义2()|SttR是Hilbert空间H上的压缩算子半群，记集合0()limhShxxDxHh存在（8）则可定义DH的算子B为00()()(0)limlimhhShxxShSBxxhh，称B为算子半群()St的无穷小生成元.注：定义2中，D是算子B的定义域，它是H中使()Stx在0t处关于t可求导的元素x的全体；B表示()St在0点关于t的导算子.问题：若给定()St，则必有无穷小生成元B，但给定无穷小生成元B，问B是否能作为某个压缩算子半群的无穷小生成元？下面的引理与定理试图回答这个问题.引理1无穷小生成元B的定义域D是H上的稠密集，且对0,txH，有0()()tSxdDB，和0()()tStxxBSxd（9）Proof：记0()ttxSxd，则对0h，0011()()()ttttShxxShxdSxdhh01()()ththSxdSxdh01()()thhtSxdSxdh令0t，右端以()Stxx为极限，故txD，且()tBxStxx.又0t时，1txxt，所以D在H中稠密.引理2对xD，有1()[0,),,0StxCHt00()()(),0ttStxxBSxdSBxdt（10）由此可知B为闭算子.Proof：若xD，0t，则有111()()()()()()SthxStxShIStxStShxxhhh，0h令0t，得()()(),,0DStxBStxStBxxDt，（11）其中D表示右导数.同理当0ht时，有11()()()()StxSthxSthShxxhh令0t，得()(),,0DStxStBxxDt（12）其中D表示左导数.（11）与（12）表明1()[0,),StxCH，且将（11）从0到t积分，并注意到(0)SI，则得（10）式.再证B为闭算子.事实上，若nxD，且nxx，nBxy在H中成立，则011()()hnnnShxxSBxdhh令n，得011()()hShxxSydhh再令0t，得1()(0)ShxxSyyh所以xD，且Bxy，即B为闭算子.定理1（存在性定理）设:BDH是Hilbert空间中给定的线性算子，则B是某个压缩算子半群的无穷小生成元1(1)(2)0,)1.BHBDHB是中的稠密闭算子;对是的单映射与满映射，且（Proof：先证必要性.若B是压缩算子半群()|SttR的无穷小生成元，则由上述引理1和2可知，B为稠密闭算子.又对于0，易证()|teSttR也是一个压缩算子半群，它的无穷小生成元是B，以D为其定义域，由（9）和（10），得0()()(),,0tteStxxeSBxdxDt（13）0()()(),,0tteStyyBeSydyHt（14）因为()tteStyey，所以（13）、（14）中的积分收敛.又由()St的有界性可知，当t时，()0teStx，()0teSty.故在（13）、（14）式中，当t时，0()(),xeSBxdxD（15）0()(),yBeSydyH（16）由（15）式可知，B为单映射，又由于()0Bx，因此0x.由（16）式可知，B为满映射，因为H中任一元素均在B的值域中.由（16）可得，110(),tByedtyyyH（17）故1()1B再证充分性：利用B构造一个压缩算子半群()St，分三步进行.Step1用有界算子B来逼近B.对一切0，B是DH的单映射与满映射，且1()1B故可取1()BBB从而22()()()()BBBBBBB因此21()BB（18）且2B，故B是定义在H上的线性连续算子.由（18）式，当,0xD时，1111()BxxBxBxBx从而对一切xD，当时，1()Bxx.由于D是H中的稠密集，又由1()1B知，1()B关于是一致有界的，故对一切xH，有1()Bxx.于是当xD时，1()BxBBxBxStep2利用B给算子半群()|0tBStet当0t时，定义0!nBnBen（19）显然Be为一个线性有界算子，当0t时，又定义(),0,0tBStet（20）易证()|0Stt构成一个压缩算子半群.事实上，定义1中的条件（1）、（2）显然满足；又从2121(())()()1tBtBtttSteeeee可知()St是压缩的.而当12tt时，1212()()()StStxSttIx12121210()()()!(1)!nnnnttBttBxttBxnn从而()Stx关于t连续.显然()|0Stt的无穷小生成元就是B，即()(),tDStxBStxxHStep3证明lim()()StSt存在，且为所要求的半群.对xD，有0()()()()tdStxStxStSxdd0()()tStSBxBxxd从而当xD时，()Stx构成一个关于有限区间中的t是一致的Cauchy序列.于是()Stx在D中关于t一致收敛.再利用()1St可得，对xH，()Stx在H中收敛，且当t属于有限区间时，这种收敛是一致的.据此可定义()St：()lim(),StxStxxH（21）易见()St是H中的线性算子，(0)SI，1221()()()SttStSt.由于（21）式中的收敛在有限区间上一致的，且()[0,),StxCH，因此()[0,),StxCH.最后()St的压缩性可由()St的压缩性导出，从而()St满足定义1中的全部条件，故()|0Stt构成压缩算子半群.下面证明算子半群()St以B为无穷小生成元.事实上，若,0xDh，则()()StBxStBx在0th上一致成立.由于B是算子半群()St的无穷小生成元，故0()()hShxxSBxd令，得0()()hShxxSBxd所以当xD时，(0)DSxBx.记C为算子半群()|0Stt的无穷小生成元，则()()DBDDC，且当xD时BxCx，于是C是B的扩张.从而IC是IB的扩张.由假设知，IB是满映射，则由前述必要性推导知IC为单映射，故IC不能再在()DB以外定义，否则与IC为单映射矛盾.从而有()()DBDC，BC，即B为算子半群()|0Stt的无穷小生成元.定理2（唯一性定理）设(),()TtSt是H上给定的两个压缩算子半群，它们有相同的无穷小生成元B，即00()()limlim,()hhThxxShxxBxxDBhh则对0t，有()()TtSt.Proof：由（16）式知，对yH，100()()(),0tteStydtByeTtydt取zH与上式两端作内积，得00(),(),,0tteStyzdteTtyzdt所以对,yzH，有(),(),StyzTtyz故()()StTt.三、一般线性算子半群的情形定义3对H上的算子族()|0Stt，若满足定义1中的条件（1）、（2）、（3），则称()St是单参数线性连续算子半群，或简称0C算子半群.又若()St对tR有定义，且定义1中的条件（2）对12,ttR成立，则称()St为0C算子群.定理3若()|0Stt是Hilbert空间H上的0C算子半群，则必有与t无关的常数M与，使得()tStMe证明略去.注：对一般的0C算子半群，可定义其无穷小生成元，其定义域及算子本身仍可表示成定义2中的D和B.一般0C算子半群与其无穷小生成元的关系可由如下Hill-Yoshida定理给出.定理