抽样技术题目

1一、简单随机抽样1、在简单随机抽样中，试证明比估计Ry是总体均值Y的渐近无偏估计，并求其方差。证明：XRYXxyXRYyR2211XXxoXXxXXxXyEXXXxXyEXXxyEyER由于0PXx即0XXx所以YyEXyEXyER得证。2222RxyEXXRXxyEyEyEyVarRRR222111XXxoXXxXXxXxRyXXxXxRyEX由于0PXx即0XXx所以22221ZRSnfxRyVarxRyEXxRyEXyVar其中：RXYZ故222212111XXYYNiiiRSRRSSnfXRYRXYNnfyVar2、对于简单随机抽样，总体均值Y的回归估计量定义为：()lryyXx，如为常数(记为0)，证明20122200(y)11(y)[()()]11(2)lrNlriiixxyEYfVYYXXnNfSSSn2证明：00202022200(y)[y()]()[()]11y[()]111[()()]11(2)lrNlriiiNiiixxyEEXxEyXExYfVYXXYnNfYYXXnNfSSSn（）=3、在简单随机抽样中，已知变量总体均值Y的回归估计量定义为)(xXyylr，若为常数（记为0），且有YyElr)(,求证：（1）)2(1)(02202xyxylrSSSnfyV（2）使)(lryV最小的0为xyxxySSSS20；其中yxxySSS.证明：（1）NiiilrYXXYNnfyV120)(111)(210)()(111NiiiXXYYNnf)2(102202xyxySSSnf（2）求)(lryV对0的偏导数：0)22(1)())((200xyxlrSSnfyVxyxxySSSS020将0的值代入)(lryV，验证其最小值存在，此时xyXxyxXyylrSSSSSSSnfyV222221)()2(122222yyySSSnf)1(122ySnf34、研究某小区家庭用于文化方面（报刊、电视、网络、书籍等）的支出，N=200，现抽取一个容量为20的样本，调查结果列于下表：编号文化支出编号文化支出1200111502150121603170131804150141305160151006130161807140171008100181809110191701024020120估计该小区平均的文化支出Y,并给出置信水平95%的置信区间。解析：由已知得：200N20n根据表中数据计算得：5.144201201iiyy06842.827120120122iiyys21808.37)1(1)(2sNnnyV10015.6)(yV因此该小区平均文化支出Y的95%置信区间为：])(y[2yVz即是：[132.544,156.456]，故估计该小区平均的文化支出Y=144.5,置信水平95%的置信区间为[132.544,156.456]。5、某地区对本地100家化肥生产企业的尿素产量进行调查，一直去年的总产量为2135吨，抽取10个企业调查今年的产量，得到25y，这些企业去年的平均产量为22x。试估计今年该地区化肥总产量。解析：由题可知22x，35.211002135NXX,25y则，该地区化肥产量均值Y的比率估计量为26.24242535.21xyXY该地区化肥产量总值Y的比率估计量为242626.24*100ˆˆRYNY所以，今年该地区化肥总产量的估计值为2426吨。4二、分层随机抽样6、在分层随机抽样的分别比估计中：（1）试证明YyERS)(；（2）求出其方差。（1）证明：根据题意：LhhhhLhhhhLhhhhhRSREXWXRWEXxyWEyE111)ˆ()ˆ()()(又hhhXYRE)ˆ(YYWXYEXWhLhhLhhhhh11)(上式综上可得：YyERS)(（2）解：由第一问可知)ˆ()ˆ()(121hhLhhLhhhhRSXRVWXRWVyV而)2(1)()ˆ(222xyxySRRSSnfyVXRV)2(1)(22212xhhyxhhyhhhLhhRSSRSRSnfWyV8、调查某地区居民的奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查后各层样本户的奶制品年消费支出的中间结果如下表所示：层号（h）层权（%）样本量样本平均值（元）第h层样本方差10.07021039.51623.722220.140410105.52166.666730.263210165.08205.555640.52631023.0193.333请估计该地区居民奶制品的年消费总支出及其95%的置信区间。解析：根据表中的数据可得4_^1209650()sthhhYNy元；估计量方差^()stVY的无偏估计为^281()()/5.38610LsthhhhhhvYNNnsn，进而有^8()5.3861023207.6()stvY元。^stY的95%的置信区间为^^0.025()ststYzvY，其中0.025z=1.96，经计算可得^^0.025()2096501.9623207.6164163()ststYzvY元^^0.025()2096501.9623207.6255137()ststYzvY元因此，可以有95%的把握认为该地区居民奶制品的年消费总支出在164163~255137元之间。57、试述分别比估计和联合比估计的比较。答：如果每一层都满足比率估计量有效的条件，则除非hRR，都有分别比率估计量的方差小于联合比率估计量的方差。但当每层的样本量不太大时，还是采用联合比率估计量更可靠些，因为这时分别比率估计量的偏倚很大，从而使总的均方误差增大。实际使用时，如果各层的样本量都较大，且有理由认为各层的比率hR差异较大，则分别比率佑计优于联合比率估计。当各层的样本量不大，或各层比率hR差异很小，则联合比率估计更好些。三、等概率整群抽样和多阶段抽样9、邮局欲估计每个家庭的平均订报份数，该辖区共有4000户，划分为400个群，每群10户，现随机抽取4个群，取得资料如下表所示：群各户订报数ijyiy11，2，1，3，3，2，1，4，1，11921，3，2，2，3，1，4，1，1，22032，1，1，1，1，3，2，1，3，11641，1，3，2，1，5，1，2，3，120试估计平均每户家庭订报份数及总的订报份数，以及估计量的方差。解：由题意得到400N，4n，10M，01.04004Nnf故875.1410201620191ˆ1niiyMnyY（份）75.18875.110yMy（份）7500875.140010ˆyNMY（份）niibyynMs122)(1niibyynnMfsnMfyv1222)(1111)(14)75.1820()75.1819(10401.0122200391875.06270000391875.010400)()ˆ(2222yvMNYv于是由以上的计算结果得到平均每户的订报份数为1.875，估计量方差为0.00391875。该辖区总的订阅份数为7500，估计量方差为62700。610、某高校学生会欲对全校女生拍摄过个人艺术照的比例进行调查。全校共有女生宿舍200间，每间6人。学生会的同学运用两阶段抽样法设计了抽样方案，从200间宿舍中抽取了10间样本宿舍，在每间样本宿舍中抽取3位同学进行访问，两个阶段的抽样都是简单随机抽样，样本宿舍拍照人数样本宿舍拍照人数126120703181429151100试估计拍摄过个人艺术照的女生比例，并给出估计的标准差。解：题目已知200N，10n，6M，3m，05.0200101Nnf，5.02Mmf3.03109ˆ1nmypnii005747.0)(1111)ˆ(12niimpynnfmpv0758.0005747.0)ˆ()ˆ(pvps在置信度95%下，p的置信区间为))ˆ(ˆ(2/pvtp=）0.448568,0.151432()0758.096.13.0(。四、不等概抽样11、某公司欲了解职工上班交通所需的时间，该公司共有5个部门，根据每个部门的人数采用PPS抽样出2个部门，并在2个部门中采用简单随机抽样分别抽出5名职工，调查结果部门i职工人数iM时间（分钟）ijy12040，10，20，30，4023560，30，20，60，30试估计该公司职工上班交通评价所需的时间，并给出估计的标准差。解：已知n=2，m=5，34011nimjijy设公司总人数为0M由于这个样本是自加权的，所以有：001103434010MMynmMYnimjij（分钟）340MYy（分钟），所以该公司职工上班交通平均所需时间为34分钟。7244244010134303460^3410344010112222112nimjijyynmy62.15yys（分钟）。五、系统抽样12、检查某书稿上的错别字，每隔5页检查一页上的错字数，系统抽取30页样品后的检查结10865988599910431234063503004080试估计这本书稿的平均错字数，并估计抽样方差。解：由题，N=30，k=5，则n=30/5=6则按照所给顺序等距抽样，可能样本如下：对于系统抽样，作为Y的简单估计，syy是Y的无偏估计量，根据上表中的数据，5114.733345syrryy总体方差2562111Y11.85751rjrjSYN平均样本内方差21S17.46677.46676.566711.466718.966712.38675r则：221(1)S1.14rsyNknVySNN。jr123456样本均值样本内方差110892305.333317.4667288103546.33337.466736544003.16676.566745930384.666711.466759916004.166718.96678六、综合知识点13、判断题(每题1分,共10分)1、总体比率R与总体比例P两者是一样的概念，只是符号不一样。（）2、比估计量是有偏估计量。（）3、分层抽样在划分层时，要求层内差异尽可能大，层间差异尽可能小。（）4、对于同一总体，样本容量同抽样标准误差之间是正相关关系。（）5、整群抽样设计总是比简单随机抽样效率低。（）6、其他条件相同时，重复抽样的误差小于不重复抽样的误差。（）7、设总体容量为N，样本容量n，采用有顺序放回简单随机抽