抽象函数方法列举

1一、数形法针对选择填空题，有时可利用抽象函数的大致图像求解。例：对函数f(x)是奇函数，且在（0，∞）是增函数，又f（2）＝0，则（f（x）-f（-x））/x＜0的解集为（）解：因为f(x)是奇函数，所以图像关于原点对称，根据题设作出f（x）在R上的大致图像如右，根据所给不等式可推出f（x）/x＜0，即f（x）与x异号。由图像可解得（－2，0）∪（0，2）。二、模型函数方法针对选择填空题，有时可利用抽象函数的模型函数，结合图像求解，对于解答题则可以起到启迪思路并起验证作用。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的，如：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）由正比例函数f（x）＝kx抽象而成f（xy）＝f（x）f（y）由幂函数f（x）＝xa抽象而成f（x＋y）＝f（x）f（y）由指数函数f（x）＝ax抽象而成f（xy）＝f（x）＋f（y）由对数函数f（x）＝㏒ax抽象而成()()()1()()fxfyfxyfxfyy=tanx例：对任意正实数x,y，均满足f(x＋y)=f(x)+f(y)，当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）在〔a，b〕上：A.有最小值f（a）B.有最大值f（b）C.有最小值f（b）D.有最大值f（(a＋b)/2）解：满足f（x＋y）＝f（x）+f（y）的函数模型是正比例函数f（x）＝kx由x＜0时，f（x）＞0可知，k＜0，从而可知y＝f（x）是减函数。应选C。例：对任意正实数x,y，均满足f(xy)=f(x)+f(y)若f(2)＜0,下面不正确的是（）A.f(1)=0B.f(3)＜f(4)C.f(2)+f(1/2)=0D.f(4)+f(1/5)＜0解：满足f（xy）＝f（x）+f（y）的函数模型是对数函数f（x）＝㏒ax，由f(2)＜0，可知0＜a＜1，从而可知y＝f（x）是减函数，所以f(4)＜f(3)。应选B。2三、利用函数性质，解函数f（x）的有关问题1、函数求值问题-----根据所给恒等函数性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，或经有限次迭代，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。①赋特殊值例题、若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(1)＝（）解：对于f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，令x＝－1，得f（1）＝f（－1）＋1奇函数f（－1）＝－f（1），故2f（1）＝1，f（1）＝1/2。例题、f(x)的定义域为(0,)，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则(2)f（）解：取x＝y＝2，f（4）＝f（2*2）＝f（2）＋f（2）＝2f（2）＝2,∴f（2）＝1。取x＝y＝√2，f（√2*√2）=f（√2）＋f（√2）＝2*f（√2）＝f（2）＝1，∴(2)f1/2。例题、定义在R上的函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，又y=f(x)过点（2，1），y=f(2x)的反函数为y=f-1(2x)，则y=f-1(16)为（）解：令t=2x，y=f(t)则t=f-1(y)所以x=t/2=f-1(y)/2即f（2x）的反函数应该为f-1(x)/2而题中条件给出为f-1(2x)从而有f-1(2x)=f-1(x)/2从而f-1(16)=f-1(8)/2=f-1(4)/4=f-1(2)/8=f-1(1)/16而f(x)过点（2，1）所以f-1(x)过点（1，2）从而f-1(16)=2/16=1/8。②求较大自变量对应的函数值，从找周期或递推式着手。若小自变量有确定值，一般找周期，若无确定值，则进行递推。例题、函数f(x)为R上的偶函数，对xR都有(6)()(3)fxfxf成立，若f(2)＝2，则f(2008)=（）解：∵f(x+6)=f(x)+f(3）∴f(-3+6)=f(-3)+f(3）即f(3)=f(-3)+f(3)又f(x)是R上的偶函数，∴f(-3)=f(3)∴f(3)=f(3)+f(3)=2f(3)∴f(3)=0∴f(x+6)=f(x)，f(x)是周期为6的周期函数。∴f(2008)=f(334*6+4)=f(4)又f(4)=f(-2+6)=f(-2)=f(2)=2∴f(2008)=2例题、对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解：,)]1([2)()1(,1,2fnfnfynx得令令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,.22001)2001(f,2n)n(f,21f(n)-1)f(n故即32、定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求。①已知函数xf的定义域是A，求函数f(x)的定义域。问题相当于已知xf中x的取值范围为A，据此求内函数x的值域。②已知函数f(x)的定义域是A，求函数xf的定义域。这类问题实质上相当于已知的值域B，且据BA,据此求x的取值范围。这类问题的关键在于将x看作一个整体，相当于f（x）中的x。例题、已知f(x)的定义域为(0，1)，则y＝f(x＋a)＋f（x－a）（|a|＜1/2）的定义域是（）。解：因为x＋a、x－a均相当于f（x）中的x，所以：0＜x＋a＜1－a＜x＜1－a0＜x－a＜1a＜x＜1＋a所以：当－1/2≤a≤0时，x∈（－a，1+a）；当0≤a≤1/2时，x∈（a，1－a）；3、值域问题往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊（如平方数）转化的必要手段。求区间的值域则可结合函数性质（单调性等）和端点值。例、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21xx,使得)()(21xfxf，求函数f(x)的值域为（）。解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，则f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21xx，使得)()(21xfxf成立矛盾，故f(0)≠0，必有f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，用x/2代换替x，y因此，0)2()(2xfxf；下面再证明f（x）≠0，因为若存在x0使f(x0)=0,则f(0)=f(x0-x0)=f(x0)f(-x0)=0与f(0)≠0矛盾,所以f（x）≠0，得出f(x)0,即f（x）的值域为（0，∞）。例、已知函数()fx对于任意实数x、y都有()()()fxyfxfy，且当x＞0时，()fx＞0，f(-1)=-2，函数()fx在区间[-2，1]上的值域为（）。设1x2x且1x，2x∈R则2x－1x0∴f(2x－1x)0∴212111()()()()fxfxfxxxfx=2111()()()fxxfxfx=21()fxx＞0[来源:Z&xx&k.Com]∴21()()fxfx,∴()fx为R上的单调增函数。令x=y=0,则f(0)=0,令y=－x，则f(－x)=－()fx[来源:学科网ZXXK]∴()fx为R上的奇函数。∴f(-1)=-f(1)=-2∴f(1)=2，f(-2)=2f(-1)=-4∴-4≤()fx≤2(x∈[-2,1])故()fx在[-2,1]上的值域为[-4，2]44、判断函数的奇偶性问题（函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系，多用赋特殊值－1、－x等方法，以便出现f（－x））例题、已知函数f(x)(x≠0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(x﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。解：已知定义域关于原点对称。取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.f(-1)=0所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。5、判断函数的单调性问题（多用定义法解决，加减乘除同一个数，再拆分，以便利用已给不等式）例题、已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有1212()()()fxxfxfx，且当x＞1时，f(x)0，求证f(x)在(0,+∞)上是增函数；解：设210xx，则221111()()()()xfxfxfxfxx221111()()()()xxfxffxfxx∵210xx，∴211xx，∴21()xfx0，即21()()0fxfx，∴21()()fxfx∴()fx在(0,)上是增函数。6、确定参数的取值范围（求不等式的解）（利用单调性来对函数符号进行穿脱：如f（x）递增且f(x)＞f（A）,则x＞A（脱去函数符号））例题、设)(xf是定义在R上的偶函数，且在)0,(上是增函数，又)123()12(22aafaaf。求实数a的取值范围。解：由偶函数的性质知道：)(xf在),0(上递减，而0122aa，01232aa，所以由)123()12(22aafaaf得1231222aaaa，解得30a。例题、奇函数)(xf在定义域（－1，1）内是减函数，f(1+a)+f（1-a2）＜0，求a的取值范围。解：f(1+a)+f（1-a2）＜0f(1+a)＜－f（1-a2），由奇函数性质f(1+a)＜f（1-a2），由减函数性质1+a)＞1-a2，联立定义域范围1＞1+a)＞-1,1＞1-a2＞-1三个方程，解出：-1＜a＜0。例题、二次函数)(xf的图像开口朝下，且对一切x都有f（x+2）=f(x－2)，解不等式：f（㏒1/2（x2＋x＋1/2））＜f（㏒1/2（2x2－x＋5/8））。7、周期性与对称性问题（关系式出现f（x+a）与f（±x＋a），同号看周期，异号看对称）例题、奇函数f(x)定义在R上，且对常数T0，恒有f(x+T)=f(x)，则在区间［0，2T］上，方程f(x)=0根的个数最小值为（）A.3个B.4个C.5个D.6个解：∵f(0)=0→x1=0，又f(2T)=f(T)=f(0)=0→x2=T，x3=2T.又因为22TxfTxf令x=0得222TfTfTf,∴232TfTf=0.(本题C易错选为A)5例题、)(xf＝ax2＋bx＋c（a＞0）对任意t有：f（2+t）＝f（2-t），比较f（1）、f（2）、f（4）的大小。解：根据题意得知x＝2为抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴；开口向上，∴f（2）最小，f（1）＝f（3），在[2,＋∞）上，f（x）为增函数，∴f（3）＜f（4），∴f（2）＜f（1）＜f（4）。例题、f（x）满足f（x）＋f（－x）＝2002，求f－1（x）＋f－1（2002－x）的值。解：已知f（a＋x）＋f（a－x）＝2b关于点（a，b）对称。得出y＝f（x）的图像关于点（0，1001）对称。根据原函数和反函数的关系可知，y＝f－1（x）关于（1001，0）对称，所以：f－1（x＋1001）＋f－1（1001－x）＝0将上式中的x用x－1001代替，得f－1（x）＋f－1（2002－x）＝08、求解析式问题---换元法，凑合法，待定系数法，赋值/递推法，区间转移法1、换元法：即用中间变量，表示x的代数式，从而求出f(x)。例题、已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1(0≤u≤2),则f(u)=-u2+3u+1(0≤u≤2)故f(x)=-x2+3x+1(0≤x≤2)。例题、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足xxxfxf11,求f(x)。解：(1)1),x0(xx1)x1x(f)x(f且,12)11()1(:x1-xxxxfxxfx得代换用（2）:)1(x-11得中的代换再以