拉普拉斯变换

拉普拉斯变换一．拉普拉斯变换的定义设f（t）是变量t的函数，定义：F(s)=0)(dtetfst为f(t)的拉普拉斯变换。记为£[f(t)]=F(s).ｆ(t)=jjstdtesFj)(21称逆拉普拉斯变换，记为f（t）=£-1[F(s)]。二．一些常用函数的拉普拉斯变换1．阶跃函数1（t）1£[f(t)]=0)(etf-stdt=01e-stdt=–sest0=s10t2.指数函数e-at£[ate]=0dteestat=as13.冲击函数(t)£[(t)]=0)(dtetst=1三．拉普拉斯变换的性质1．线性(叠加)f1(t)F1(s)f2(t)F2(s)K1，K2是常数，则K1f1(t)+K2f2(t)K1F1(s)+K2F2(s)例。F(t)=sinwt,求拉式变换：∵sinwt=jeejwtjwt2jwtejws1,jwtejws1sinwt22wsw2．原函数微分f(t)F(s)则dttdf)(sF(s)–f(0)nndttfd)()0()()(101rnrrnnfssFs∞∞∞∞式中)0()(rf表示)()(tfr在0处的值。3．原函数的积分f(t)F(s)则tdxxf)(sfssF)0()()1(式中0)1()()0(dxxff4．延时(时域平移)f(t)F(s)则f(t-t0)1(t-t0))(0sFest5．S域平移f(t)F(s)f(t)ateF(s+a)例。wteatsin22)(waswwteatcos22)(wasas6．尺度变换f(t)F(s)则f(at))(1asFa7．终值定理f(t)F(s)，当sF(s)在s平面的虚轴以及右半平面上解析（原点除外），则)(lim)(lim0ssFtfst。8．初值f(t)F(s),则有)(lim)0()(lim0ssFftfst9．卷积f1(t)F1(s),f2(t)F2(s)则有f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s)10.复微分)(ttfdssdF)(四．一些常用函数的拉普拉斯变换表f(t)F(s))(t11(t)s1ateas1nt1!nsnsinωt22wswCosωt22wsswteatsin22)(waswwteatcos22)(wasasatte2)(1asatnet1)(!nasn五．拉普拉斯逆变换由F(s)求f(t),采用部分分式展开法求解。将F(s)分解成简单分式之和的形式，从拉式变换表中找出原函数f(t)。设F(s)=)()(sDsN01110111asasasabsbsbsbnnnnmmmm1．D(s)=0的所有根是单根s1,s2,….,sn,将F(s)展成：F(s)=nnssKssKssK2211,其中Ki=isslim(s-si)F(s),由iissKKitsie，则有ｆ（ｔ）＝Ｋ１tsntstsneKeke212例)2)(1(4)(sssssF求)(tfＤ（ｓ）＝０由ｓ１＝０，ｓ2＝－１，ｓ3＝－２．∴21)(321sKsKsKsF2)(01sssFK，3)()1(12ssFsK1)()2(23ssFsK21132)(ssssFtteetf232)(（0t）若ｍ＝ｎ，Ｆ（ｓ）分解成)()()(0sDsNKsF（真分式）而Ｋ)(tK，)()(0sDsN按上述方法计算。２．Ｄ（ｓ）＝０具有共轭复根，采用配方的方法求解。例222)(2ssssF，求f(t).解：22221)1(1)1(1)12(2222)(sssssssssF=22221)1(11)1(1sss则有f(t)=tetettsincos(t≧0)3.D(s)=0有重根设F(s)具有m重根，分解成下列形式，1111121111)()()()()(ssKssKssKsssNsFmmmm其中)()(lim1111sFssKmss)()(lim1121sFssdsdKmss………………………….)()()!1(1lim11111sFssdsdmKmmmssm利用mssK)(1tsmemKt1)!1(1求出f(t)六．习题1．求下列函数的拉普拉斯变换：a.tet3)(b.tteec.sin2t+3cos2td.2-tee.tetcos2f.tte2．用延时性质求下列信号的拉普拉斯变换a.1tt0b.1tt0c.1t133．已知)2(4)(sssF，求f(t)，f（0），)(f。4.求下列函数的拉普拉斯反变换a.651)(2ssssFb.541)(2sssFc.2)2(4)(sssF