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拉普拉斯变换在电路分析中的应用电气13-3班周俊楠摘要:讨论如何利用拉普拉斯变换方法解决复杂电路分析问题,关键词:拉普拉斯变换;电路分析;应用在电路分析中，对于具有多个动态原件额复杂电路，用直接求解微分方程额方法比较困难。此时可用积分变换法进行求解。就是将时域函数变换为复频域函数，从而把时域的微分方程换为复频域的代数方程。拉普拉斯变换就是一种重要的积分变换。￡变换一直是分析这类系统极为有效的方法.而且,由于拉普拉斯变换与￡变换有着很多类似之处,能够让我们在对电路分析中更加便捷。1拉普拉斯变换111变换的目的11853来求解x是非常麻烦的.但却可以通过某种改造使问题得到简化.现对方程两侧取对数,得:1185lgx=lg3lgx=lg3=0õ25791õ85x=lg-1(012579)=116991从此例可以总结出几个特点:(1)在例1中,我们使用的变换,实际上是函数y=lgx,对于每一个x值都赋于一个y值,即lg(õ);(2)反函数lg-1(õ)也是单值函数;(3)在实数域里,lgx的定义域为x0;在解决和分析问题时,我们常常对问题的数学表达式进()变换lg(õ)和反变换lg-1()都可双列成表册,以便查4õ行某种改造,希望通过这种改造,能够用更简单、更通用的方用.法去解决较为复杂的问题.上述这种改造,在数学上就可以称之为变换(或映射).这种过程可以用图1的方框图来说明.原问题变换较易解决解在变换域反变换原问题的问题里求解的解图1变换方法原理图例1解方程x1185=3方程中的幂指数不是整数,要直接计算3的1185次方根12拉普拉斯变换õ(1)设f(t)为时间t的函数,且当t0时,f(t)=0;S=T+jX为复数则定义拉普拉斯变换e-stdtL[f(t)]=F(s)=∫0∞f(t)õ(2)求函数拉普拉斯变换方法的总结.∞①直接利用定义式F(s)=∫f(t)õe-stdt求解0②利用已知函数的拉普拉斯变换及拉普拉斯变换性质求F(s)③查表法113拉普拉斯反变∞在数学上,根据拉普拉斯变换定义F(s)=∫f(t)õe-stdt01c+j∞st可以得出拉普拉斯反变换的公式是f(t)=2∫jc-j∞F(s)eds,(s)式中C是实常数,为收敛横坐标,它应比FP一切奇点的实部都要大.直接用上述公式求拉普拉斯反变换是十分复杂的,通常是将复杂的F(s)展开成部分分式,再利用拉普拉斯变换的线性性质和基本变换表来求F(s)对应的f(t).例已知函数F(s)=S2+29S+30的三个极点是S1S3+7S2+10S=0,S2=-2和S3=-5.因此可以展开为下列形式:S2+29S+30=A+B+CS3+7S2+10SSS+2S+5将上式右边通分,则其分母与原函数相同,而等式两边的分子多项式为:S2+29S+30=(A+B+C)S2+(7A+5B+2C)S+10A比较等号两边对应项的函数,得:A+B+C=17A+5B+2C=2910A=30解上面的线性方程组,即可确定各函数为:A=3,B=4,C=-6从而,有F(s)=3+4-6和f(t)=3+4g-3t-s2s+5s+6e-5t2拉普拉斯变换的应用这里讨论的范围,只限于线性定常系统.所谓系统,是用来处理各种输入信号的装置.这种处理可以用硬件来实现,如由各种电器元件组成的电路网络,机械元件组成的运动系统,都统称为系统.这些系统的规律也可以用某种数学方法来描述,如电路方程,微分方程,硬件系统的传递函数(网络函数)等.这时,我们也称这些数学表达方式为系统.也就是说,系统也可以是指从实际物理元件组合中抽出来的数学规律.系统可以用软件表示,因为只要把这些规律掌握了,对实际系统的特性也就能充分地了解了.211用拉普拉斯变换方法解线性微分方程这里拉普拉斯变换的一个最基本的应用.含有未知数f(t)及其各阶导数方程称为微分方程.如果f(t)及其各阶导数都是一次的,则称之为线性微分方程.线性微分方程常常被用来描述各种各样的动态系统.例解微分方程d2f(t)õdf(t)õ(t)2+35+6f2dt=0dtõ1pf(0)=0,f(0)=3微分方程的拉普拉斯变换是S2F(S)-Sf(0)-f’(0)+3SF(S)-3f(0)+6F(S)=0代入初始条件,并求出F(S)F(S)=3S2+35+615=232515)2(S+15)2+(2F(s)的反拉普拉斯变换就是原方程的解,即2f(t)=L-1[F(s)]=3e-1.5tSin(15t)从以上分析可知,所谓用拉普拉斯变换解决问题的方法,实质上就是把时间域里的问题变换到S域去求解,最后通过反变换再返回时间域.上述拉普拉斯变换中的复数S(或S域)常常称为复频率(或复频域).212电路复频域分析方法例应用S域分析法求一般二阶电路的阶跃响应,如图2所示电路,求阶跃响应u(t)和i(t).图2二阶电路解:(解题思路)本题是一般直流二阶电路求阶跃响应,即零状态响应.作S域模型时,初始状态为零,电感元件和电容元件S域模型中没有附加电压源.S域分析计算的步骤是,首先作出时域电路的S域模型,然后应用节点分析法求解出待求量的象函数,并将其展开为部分分式,最后反变换为时域响应.关于信号,在电路网络中就是指电压和电流,一般通指系(解题方法)统中一些变量,和机械系统的位置、速度、压力和流量等等.设(1)作出时域电路的S域模型如图3所示.其电压源的象一个系统,在输入为f1(t)和f2(t)时的输出为y1(t)和y2(t),函数是10,复频域感抗ZL(S)=S,复频域容抗Zc(s)=1.若输入为af1(t)+bf2(t)时,其输出为ay1(t)+by2(t)(a,b为SS常数),则这个系统为线性系统.如果系统的参数(如电阻、电(2)求电压u(t),应用节点分析法,列出节点方程为10容值等)是不随时间改变的,则称该系统为定常系统或时不变(1+S+1)U(S)=S系统.S+1S+1(S2+2S+2)U(S)=10SU(S)=10S(S2+2S+2)=10S(S+1-j)(S+1+j)=K1+K2+K3SS+1-jS+1+j计算待定常数k1=3õU(s)ûs=010ûs=0=52sS+2S+2k2=(s+1-j)õU(s)ûs=-1+j=10û=-s(s+1+j)5-45°2k3=k2=-545°2进行拉氏反变换得出()-1()10-t()õE()ut=L[Us]=[5-2ecost-45°]ttV图3S域模型(3)求i(t)电路的S域阻抗为Z(s)=(s+1)+1s+1Us(S)10故I(s)==s1Z(s)s+1+s+1=10(S+1)S(S2+2S+2)=10(s+1)s(s+1-j)(s+1+j)=K1+K2+K3Ss+1-js+1+j计算待定常数k1=sI(s)s=0=10(S+1)s=0=5S2+2S+2k2=(s+1-j)õI(s)ûs=-1+j=10(s+1)ûs=-1+js(s+1+j)=-545°5õû]=[5-2û°=3k3=k2=-545°555I(s)=5-45°-45°25s+s+1-js+1+j进行反拉氏变换得出10e-tcos(t+45)](t)Ai(t)L-1[I(s)õE213频率特性及波特图系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应.可以证明,线性定常系统在正弦输入的激励下,其输出为与输入同频率的正弦信号.但其幅度及相位将发生一定的变化,不过,对于不同的频率,输出信号的幅度及相位的变化是不同的.以图4的RC电路为例.当u1(t)的频率很低时,电容C相当于开路,R中无电流通过,即u2(t)=u1(t)而当u1(t)为高频信号时,电容C相当于短路,则u2(t)=0.频率特性就是用来描述系统这种性能的.频率特性可以简单地用jw代替系统传递函数中的S而获得.图4Rc电路的电压传输函数是1G(s)=U2(s)=sc=1U1(s)R+11+RCSsc图4RC电路在正弦稳态的情况下,将S变为jX,即得到它的频率特性(又称正弦传递函数).XU2(j)1(j)=1+jRCG(j)=U1XûXûûXXûX它的幅频特性(幅度随频率变化的函数)1G(j)==11X+jRC1+(RC)2相频特性(相位随频率变化的函数)7=-lg-1(XRC)如果以横坐标表示频率X,用纵坐标表示幅度或相位,就可以分别画出它的幅频特性曲线和相频特性曲线.频率特性的图标形式有很多种,工程上用得最多的是对数坐标图,即波特(Bode)图.用波特图描述频率特性时,采用的是半对数坐标,频率采XXXXXX用对数分度,即以lg2-lg1=lg21当2=101,其频率间隔就称为十倍频程,这时lg2=ûXXûûûXûXûX1lg10=1.=X也就是说,可以以十倍频程的频率点(如10和100,100和1000,25和250等)间的间隔长度是相等的.波特图的幅度用分贝(dB)作单位,角度用度或弧度作单位.表达式为G(j)(dB)=20tgG(j)采用这种记法的好处在于G(j)中相乘的项被化为相加,这给作图提供了极大方便,例如T22ûXûXX)20lg1+T22=20lg(TX-20lg1+T这样就可以只研究G(jX)的各种典型因子(与拉普拉斯反变换时相类似)的波特图,然后再进行代数或图解加法得到©1994-2006ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.(jX)û的波特图.一般把任意正弦传输函数分解为几种典型因子乘积:(1)比例系数K;Xºº(2)纯jX+1因子(积分或微分因子)(3)一阶因子(1+jT)1;XöX(4)二阶因子[1+2NXöX+(j1.(jn)n)]用一阶因子为例说明波特图的画法,图4中RC网络的传输函数就属于这种形式.设G(jX(1+X-1,则)=jT)ûXûûXû(j=20tg(1+=-20tg1+T2XûG)ûjT)-12Xn1ö或TXnXXm低频时,即T1,可以近似表示为:G(j)=-20lg1+T22≈-20lg1=0ö因此,低频时对数幅值曲线是零分贝线.高频时,即或3X1T》1,则û(jXû=-20lg1+T2X20lgTXG)2≈-X在X=1öX=ö时为-20分贝,T时为零分贝;在10T=100ö时为-40分贝.即X每增加十倍就减少20分贝.这T样(1+T2X1的幅频特性可以用两条渐近直线来近似:当02)XööX∞时,是斜率为1T时,是0dB的直线;当1T-20dBö十倍频程的直线,图5就是它的近似曲线和精确曲线.两条直线的交点X=ö称为转角频率.采用近似线的最1T大误差出现在转角频率处,这时误差为:-20lg1+1-(-20lg1)=-º10lg2=-101即最大误差约为3dB.3图5幅频特性渐近线()=(1+jXT)-1的幅角7为7=-lg-1(XT)当频GjX率为零时,幅角为零;当频率趋于无穷大时,为-90°;在转角频率处,为7=-lg-1TT=-45°,由于7是反正切函数,它对拐点7=-45°是斜对称的.用渐近线(或加以修正)来描绘波特图的方法在工程上应用很广.绘制任意传输函数G(jX)的波特图时,一般可按下述步骤进行:(1)将G(jX)分解为基本因子的乘积;(2)找出这些因子的转角频率;(3)在转角频率之间以适当斜率(如-20分贝ö十倍频程)画出对应的渐近对数幅值曲线;(4)在渐近线基础上加以适当修正,即得幅频曲线;(5)将各因子的相角曲线相加,即得相频曲线.除了本文所述内容之外,拉普拉斯变换还有许多应用,例如数学上还可以用来解一类积分方程,偏微分方程等等.而传输函数的远不止子电气工程,从一般工业过程控制,能源工程控制,乃至尖端的航天飞行器的设计上,都应用到传输函数的概念.[参考文献][1]李瀚荪.电路及磁路[M].北京:中央广播电视大学出版社,1998.[2]向国菊,孙鲁扬.电路典型题解[M].北京:清华大学出版社,1998.[3]胡锡恒.实用拉普拉斯变换和Z变换手册[M].北京:电子工业出版社,1998.[4]邱关源.电网络理论[M].北