有效数字的意义与运用的探讨

1有效数字的意义与运用的探讨231500安徽省庐江二中束义福自然科学的研究就是实验、测量并对测量结果进行分析、认识的过程，测量是物理实验的主要手段之一，而有效数字是测量的重要基础内容，虽然在中学物理教学中对有效数字的教学要求不高，但正确理解，掌握有效数字的有关概念、正确运用有效数字却在实际生产生活应用中是十分重要与必要的。一、有效数字(一)有效数字概念的引入，是从实验数据的原始记录开始的。原始数据记录的原则应是：1、尽量准确地反映出被测物理量的大小；2、正确地反映出测量仪器的准确度；3、反映出在给定测量仪器的条件下，测试者已尽到了最大的努力。但是，在任何一个物理量的测量中，无论使用精确度多么高的仪器，所得的结果与真值总是有差别的，只是近似的。例如用尺子测量某一物体长度时，尺子再精确，它总是有最小刻度的，而物体的长度不一定恰好是最小刻度的整数倍，这样不够一个最小刻度的部分就得靠人的主观估计来确定，如某尺子的最小刻度为毫米，有人测长度时其读数为4.54厘米，其中前两位毫米的整数部分是准确的、可靠的，后一位是我们估计出来的，也可能因观察者的位置不同，操作的熟练程度不同，不同的人会估计出不同的结果，或4.53厘米或4.55厘米均有可能，因此这最后一位数字是不可靠的，但带有近似的，有参考价值，但我们估计出来后，仍有意义，在运算中是有效的，因此，人们把这种带有一位不可靠数字（或叫欠准数字）的近似数字叫做有效数字。2上述L=4.54厘米，有效数字表明了，在给定测量仪器——毫米尺的条件下，已经用最大的努力和最妥善的方法测量到被测物体的长度L至0.01厘米的数位。(二)直接有效数字和间接有效数字。通过相应的仪器，直接测量得到的，并从测量仪器的精确度以下再估计一位读出的数字，称为直接有效数字。通过若干直接有效数字的运算而得的数字，称为间接有效数字。例如，单摆实验中，通过公式g=4π2L/T2去测量某地的重力加速度g，就是先对摆长L和周期T进行直接测量，才能通过计算，间接测量g的大小。通过有效数字判断测量仪器及其精确度（最小刻度）。有效数字的最后一位，不仅与误差有联系，还与测量的精确度相联系，因此，我们利用测量结果，通过有效数字判断测量仪器及其精确度（最小刻度）。如测得电流为2.51安，其电流表的精度（最小刻度）为0.1安，测得质量为56.745克，其天平的最小感量为0.01克；如测量31.560g，则可判断测量仪器是0.01克的物理天平。对于有效数字来说，小数点右边最末位，是不能随便增、减“O”这个数字的，尽管它们在数学上是等价的。只有直接有效数字才可以直观地反映出测量仪器的精确度，而间接有效数字则无这个功能。例如实验单摆测重力加速度实验中，测量到100个周期100T=248.70秒，是直接有效数字，只有它才能够直观地反映出使用秒表的精度为0.1秒;而100个周期的平均值100T=248.70÷100=2.4870(秒)，是通过观察到的周期数100和直接有效数字248.70秒的运算而得到的，它是间接有效数字，不具有直观反3映测量仪器精确度的功能，因此不能由它判断出测量仪器的精确度为0.001秒。(三)展延物理量的测量宽度，可以增加直接有效数字的位数，降低测量的相对误差；虽然不能降低直接有效数字的绝对误差，却提供了降低间接有效数字绝对误差的可能性。相对误差的降低，表明了测量准确度的提高（尽管二者绝对误差相等）。相对误差的降低和直接有效数字位数的增加相联系的，这样间接有效数字的位数也相应增加，即间接有效数字的相对误差也就降低了。对于一个有确定值的物理量N（例如，N可以为物质的密度、单摆的周期、物体长度等等）来说，由于△X=ηN。所以其绝对误差为△X必然随着相对误差η的下降而减小。值得一提的是，展延物理量提供了降低间接有效数字绝对误差的可能性。这里之所以提及可能性，是因为从物理实验的角度来考虑问题的。测量宽度的展延必定要受到实际条件的种种限制；不适当地、无限地展延物理量的测量宽度在实际上将失去意义，而且这里还存在着各个测量因子的直接有效数字的相互配合问题。(四)两种平均值的区别。测量连续物理量中的相同子元素的平均值和对同一子元素进行多次测试的平均值，应加以区别，前者属于间接有效数字，后者属于直接有效数字。如连续测量100张纸厚度而求得的每张纸的厚度的平均值是间接有效数字；分别测量100张纸的厚度而求得平均值，是直接有效数字；又如，用天平对同一物体的质量测量10次的平均值，用米尺4对同一物体的长度测量10次的平均值，都是直接有效数字，因为这里的10可以认为没有直接参与测量，而直接参与测量的只有质量、长度。(五)直接有效数字和间接有效数字都遵循着原来的有效数字的运算法则。(六)确定有效数字位数的几个问题：有效数字的个数称为有效位数，又如2.83厘米、50.8毫米，均为三位有效数字，应用有效数字时，必须注意：1、有效数字的位数与小数点位置无关，例如3.48和34.8都是三位有效数字；2、一切非零数字都是有效数字；3、非零数字后边的零及非零数字中间的零，都是有效数字。如1.20为三位有效数字，1002为四位有效数字；4、乘方不算有效数字，如6.23×104为三位有效数字，80000若声明为2位有效数字，则应写成8.0×104。小数的第一个非零数字前面的零不算有效数字，如0.0031只算两位有效数字，因为小数的第一个非零数字前面的零是用来表示小数点位置的，所以不是有效数字。5、有效数字的位数与单位无关，单位改变时可用10的乘方来表示数量的大小。如前边测量的4.54厘米，可以写成45.4毫米或4.54×10-2米，均为三位有效数字。根据有效数字位数的要求，我们可以选取不同精确度的测量仪器，如测量约60米跑道的长度，要求四位有效数字即××××米，则第四位应是厘米，是估读出来的，第三位应是分米，是准确的，5因此应用最小刻度为分米的皮尺测量。(七)测量仪器的精确度（或精度）是与测量仪器的最小分度对应的，而仪器的最小分度，应理解为能准确读出来的最小数值。例如，对于精度为0.1mm的游标卡尺，尽管其主尺上的最小分度大于0.1mm，但对包括主尺、副尺在内的整个卡尺来说，其最小分度应为0.1mm。为了发挥直接有效数字反映测量仪器精确度的优点，也为了使有效数字的记录原则得到统一，所以必须规定，即使在末位准确数字之后不能再进行估计，也认定其估计数字为“O”。(八)直接有效数字和间接有效数字概念的提出，不仅适应了客观存在着的实际情况，因为物理实验中本身就存在着直接测量和间接测量，而且澄清了在有效数字上的模糊概念，明确地显示了有效数字能够反映测量仪器精确度的优越性，使我们从原始测量数据的记录中，既看到了被测物理量的大小，又看到了所用测量仪器的精确程度，判断出原始数据在不同范围内的可信程度。(九)直接有效数字和间接有效数字概念的明确提出，使有效数字能够帮助人们选择合适的测量仪器和改进测量方法，使直接有效数字与测量仪器的精确度相对应。例如，用单摆测定重力加速度g时，如果要求g具有5位有效数字，根据公式g=4π2L/T2，这就要求L、T都至少具有5位有效数字。欲使L具有5位有效数字，必须使L在1米以上，并用毫米尺去量度；摆球的直径在10mm以上，并用0.01mm的千分尺去量度。欲使周期T具有5位有效数字，可使用毫秒表；或者使用0.1秒的秒表测量100个周期的方法。显然这种选择的根据，就是使直接有效数字与测量仪器的精确度相对应。(十)最小分度为十进制的一个单位的测量仪器，其数量级上的每6个数字都可记为准确数字。如毫米尺、0.1mm的游标尺、0.01mm的千分尺、0.1克的粗天平、0.01克的物理天平等，因此直接有效数字对其精度的反映是非常直观的。最小分度大于十进制的一个单位的测量仪器，在最小分度这个数量级上的数字，既有准确数字，也有欠准数字（估计数字）如0.05mm的游标卡尺、0.2秒的秒表，读数时应尽量向准确数字靠拢；记录时不要降低仪器精度的数量级；判断测量仪器时，需要根据有效数字的记录原则，首先判断出仪器精度的数量级，再分析直接有效数字的记录数据，并结合对实际测量仪器的了解，综合判断之。例如，当我们看到几个这样一组测量数据，其小数点后边的有效数字是0.050mm,0.100mm,0.150mm，根据以上原则，可以判断出测量仪器是精度为0.05mm的游标尺，因为它们的欠准数字（估计数字）之前的末位准确数字，不是“0”，就是“5”。实验数据究竟应取几位有效数字，这决定于仪器的精确程度，既不能超过仪器所允许的范围，也不应低于仪器所能达到的精确程度。二、有效数字运算(一)有效数字运算基本规则1、估计数字与别的数字相加减、相乘除，所得的结果也是估计数字。2、计算的最终结果中只能保留一位估计算字，但在计算过程中，可以保留两位估计数字，最后再四舍五入。(二)几种基本运算中关于有效数字的处理原则。(1)加法运算如用米尺量出桌面的厚度为2.43厘米，用游标卡尺量出塑制板的厚度为0.243厘米。总厚度L=2.43+0.243=2.673。(为了清楚起见，7估计数字下面加一横线)，结果2.673中有两位估读数字，只需要保留一位估读数字就可以了，3可以舍去，于是得到总厚度为2.67厘米，仍是三位有效数字。(2)减法运算如求上例中桌面厚度与塑制板厚度之差=2.43－0.243=2.187,结果2.187中有两位估计数字，只需保留一位8即可，但7又可按四舍五入进入前一位，所以它们厚度差为2.19厘米，仍为三位有效数字。由上可见，由加减运算可得出：有效数字相加或相减时，在和或差中从左边起，哪一位出现了估计数字，有效数字就保留在哪位。(3)乘法运算用米尺测桌面长为106.75厘米，宽为52.21厘米，求桌面面积。乘积中有五位估计数字，只需保留一位，再由“四舍五入”，得桌面面积为5573厘米2，一共只有四位有效数字。如果两数相乘后的积有四位或四位以上，而有效数字只有两位或三位，如下例乘积有四位整数，而乘数中有效数字位数最少的是两位，根据乘法规则，乘积只能保留一位估计数字，故乘积写成2.3×103。(4)除法运算例如面积为8.04厘米2的木块上放重量为58.52克的物体，求木块所受压强大小。除式中第二次余数中6320四位都是估计数字，所以，商数从第三位7开始就是估计数字，这样，在7.278有两数估计数字，由“四舍五入”将8进入7中,结果得到木8块受到压强大小为7.28克/厘米2,一共只有三位有效数字。由以上运算可得：有效数字相乘或相除时，积和商的有效数字位数与原来数据中有效数字位数最少的相同。(5)乘方和开方运算例：62.62.39；2.3962.6例：自由落体下落0.2米的速度大小(3.62.390.28.922ghV米/秒）可见：有效数字开方或乘方，本身有几位有效数字，结果中就保留几位有效数字。(6)混合运算例：1220541143273.1152750873.115.27)25.1073.11(可见，混合运算中，中间结果的有效数字位数，比按规定运算多保留一位。(7)准确数与近似数的乘除运算准确数（如实验次数、物体的个数）与近似数相乘或相除时，有效数字的位数应等于原来近似数的位数，例如4个相同的茶杯共重800.4克，每个茶杯重量是200.1克，商数应取4位有效数字。有物理常数时，可以认为它们是准确可靠的，不影响计算结果的有效数字。至于常数的位数，应取得与各量中有效数字最少的数值位数一样，例如，测量圆的直径D=6.532厘米，高9.26厘米，则计算体积（V=hDV241）时，π取3.14即可。(三)测量仪器的有效数字读数规则有效数字的最后一位要同读数误差所在的一位取齐，这是考虑到有效数字的依据，因而测量仪器的读数规则为：测量误差出现在哪一位，读数就相应读到那一位，在中学阶段，一般可根据测量仪器的最小分度来确定读数误差出现的位置，对常用的测量仪器一般可按下述方法读数：9①最小分度是“1”的测量仪器、测量误差出现在下一位，下一位按十分之一估读，如最小分度是1毫米的刻度尺，测