有限元分析的应用领域

第八章有限元分析的应用领域8.1结构振动的有限元分析8.2弹塑性问题的有限元分析8.3传热与热应力问题的有限元分析8.1结构振动的有限元分析关于共振：震惊世界的悬索桥风振毁事故1940年11月7日，美国华盛顿州；主跨853m，全长1524m，位居世界第三；刚建成四个月；塔科马海峡桥(TheTacomaNarrowsBridge)在微风（风速19m/s，据说可抗60m/s）作用下；经过剧烈扭曲震荡后，吊索崩断，桥面结构解体损毁，半跨坠落水中······关于共振：大队人马过桥，勿用整齐步伐大约160年前，拿破仑率领法国军队侵入西班牙，有一个部队从铁链悬桥上经过的时候，军官喊着口令：“一、二、三、四！”随着口令，部队在桥上跨着整齐的步伐。当他们走近对岸的时候，突然轰隆一声响，桥的一头跌入了大河，把所有的士兵和军官都抛进了水里，淹死了很多人。距今100年以前，在俄国圣彼得堡有一支部队，行经丰坦卡河的桥梁时，也是跨着有节奏的步伐，同样发生了桥坠人亡的事件。关于共振：飞机机翼颤振飞机，就是气体动力学中的颤振现象。当飞机飞行时，机翼发生有害的振动，飞行越快，机翼的颤振越强烈，甚至使机翼折断，造成机毁人亡的惨剧。飞机设计师们为此花费了巨大的精力研究消除有害的颤振现象，但是经过长时间的努力才找到解决这一难题的方法。就在机翼前缘的远端上安放一个加重装置，这样就把有害的振动消除了。昆虫飞行时，翅膀要颤抖颤动，角质加厚层（翅痣）增加了重量，把这种颤抖“压”住了。骑车、摩托开快了，就颤动，会“飘”，加上一个重物，就压住了，这个有相似的道理。涉及内容：1、模态分析2、瞬态动力学分析3、简谐响应分析4、随机谱分析其中的模态分析（固有频率和振型是所有振动分析的基础）结构动力分析的主要任务：1)求出结构的动态特性，主要指求出结构的固有频率和振型；这关系到结构能否正常的工作，同一动载荷作用下，不同结构的响应是不同的，响应的大小直接与结构的固有频率有关。2)求出结构对动载荷的响应，即结构在动载荷作用下的运动规律和应力。这关系到结构工作是否可靠的问题，有了结构各点的应力时历曲线，可以进行响应的数值分析和结构疲劳寿命评估。基本变量位移应变应力,iut,it,it,,xyz平衡方程,0ijjiiibtutcut几何方程物理方程,,12ijijjitututijijklklD边界条件位移边界条件应力边界条件初始条件iiututijjitnpt00,0,0iiiiutuutuxyzOABCzzyzxxyxzxpypzN虚功原理基于以上的基本方程，可以得到相应的有限元形式列阵。,=-ddpijjiiiiijjiisucubunpuAd-dd0pijklijkliiiiiiiisDuucuubupuA有限元分析表达式代入虚功方程，从而可以得到动力学方程。,,,,,eteetteettetetutNqttuNqtBqttDDBqtSqtutNqtutNqt0eeeeeeettttMqtCqtKqtPtVdTMNNVVdTCNNVVdTKBDBV质量矩阵阻尼矩阵刚度矩阵将各个单元装配，组集可以得到以下动力学方程tttMqtCqtKqtPt讨论：1、静力学情形2、无阻尼情形3、无阻尼自由情形KqPttMqtKqtPt0ttMqtKqtˆitqtqe0ttMqtKqt由微分方程的一般理论可知，常系数线性齐次微分方程组的基本解的形式为显然，显式解代表的是以ω为圆周频率的简谐振动，而则是与其对应的振型。将基本解代入动力学方程后ˆqˆitqtqe20itKMqe0KMq满足上式的解λ和分别称为特征值和特征矢量。显然，如此求得的ω就是结构振动的固有频率，而给出相应的固有振型。其解是关于的n个分量的线性齐次代数方程组，它有非零解的充分必要条件为ˆqˆq20KM0KM此式称为广义特征方程。如果K的阶次为n，则广义特征方程是λ的n次代数方程，由此可以解出n个广义特征值，从而得到n个固有频率。如果刚度矩阵K、质量矩阵M正定，广义特征值问题可以很方便地化为标准特征值问题。特征值和特征矢量的性质正则化条件：证明1：刚度矩阵的正交性。证明2：质量矩阵的正交性。证明3：阻尼矩阵的正交性。ˆˆ1TiiqMq质量矩阵一致质量矩阵：通常把由形状函数矩阵推导出的质量矩阵叫做一致质量矩阵(consist。ntmassmatrix)，所谓“一致”，意指推导质量矩阵时所使用的形状函数矩阵与推导刚度矩阵时所使用的形状函数矩阵相“一致”。集中质量矩阵：集中质量矩阵的系数都集中在矩阵的对角线上，也就是说对应于各个白由度的质量系数相耳独立，相互之间无耦合，这给方程的求解会带来很大好处；而一致质量矩阵的系数则有相互耦合。阻尼矩阵一般情况下，单元阻尼矩阵可以看作是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即式中的c称为瑞雷阻尼，系数α，β与结构的固有频率和阻尼比有关。设分别为第i个和第j个固有频率，分别为第i个和第j个振型的阻尼比（亦即实际阻尼和该振型的临界阻尼的比值），则α，β可以分别表示为CMK22ijjiijijjijjiiijjiij，ij，结构动力学响应的有限元分析动力响应问题就是求解动力学方程，即在外力的作用下，求出作为时间函数的位移、速度和加速度。动力响应问题的常用解法有振型法(或振型叠加法)和直接积分法。振型法首先利用自然振动的模态矩阵对无阻尼系统、阻尼系统的动力学方程进行解耦处理，以得到各自独立的动力学力程．然后分别进行求解，可以是数值求解，也可以解析求解。直接积分法就是直接将动力学方程村时间证行分段数值离散，然后计算每一时刻的位移数值，这一过程实际上是将时间的积分区间进行离散化，因此叫做积分算法。关于时间的格式有显式和隐式，具体地有基于中心差分的显式算法(cxplicitalgorlthm)和基于Newmark方法的隐式算法。振型叠加法显式积分法隐式积分法