有限元分析第九章

第九章应用程序§9-1概述有限元方法的成功和广泛应用推动了应用程序的进步和发展。随着第三代电子计算机的出现，从２０世纪６０年代未期到７０年代未期，一些大型和特大型通用程序，例如ADINA、ANSYS、ASAS、ASKA、BERSAFE、BOSOR、ELAS、MARC、MARCS、NASTRAN、NEPSAP、PASEC、SAP、STRUDL等相继问世，并在使用中不断扩充新的版本。这些程序占据了相当在的一批用户市场，利用这些程序除可以分析一般的线性问题外，还可以处理非线性连续介质、塑性、断裂力学、温升应力和蠕变、船舶结构、冲击波传播、焊接问题、粘弹性、结构优化、热传导、桥梁系统、复合材料、气动弹性、结构稳定性、海洋结构等问题[12]。这种程序中有的（ASKAT和NASTRAN）有30~40万条语句，编制和维护这些程序要化费大量的人力。在我国由于计算机条件的限制，大型分析程序的研制工作开展得比较迟，70年代未期以后有了较快的发展，研制了如：JIGFEX（结构分析系统）、HAJKS（航空结构分析程序系统）SPSWZ用户程序软件包系统、SDL程序系统、DDDU（多单元、多约束、多工况结构优化设计程序系统）。此外，还从国外引入了SAP－５、SAP－６、SAP－７、ADINA、ASKA等程序。从而使我国的分析水平大大前进了一步。近十年来，微型机性能提高很快，微型机价格低、易于普及，用于微型机的结构分析软件的研制工作，在七十年代中期已在国外引起一些人的注意。在国内，JIGFEX程序系统和部分程序已经移植到微机上；1982年从美国引入的SAP－81程序也扩展成SAP－8４版本，下面着重介绍SAP－5程序的一些情况。SAP－5程序1974~1976年在美国完成，1979年引入我国，是一个用于线性静力、动力分析的结构分析通用程序。这个程序在引入我国时，就国内来说是先进的，赢得了相当大的一批用户市场，国内很多计算站都装有这个程序。此外，由于这个程序的文本是公开的，便于一些研究生把它解体、修改后用于自己论文课题的研究。这里简单介绍SAP程序的主要目的有两个：其一使读者从中了解一个通用分析程序大体要具备那些功能；其二是从中体会各方面的知识（本课程所讲内容及其它课程中的讲解内容）如何综合一个整体。此外，如果有条件，把它作为教学程序安排一次上机实习，对建立有限元方法的整体印象也是有利的。§9-2SAP－5程序的主要功能１、静力分析计算结构在静载荷下各节点的位移和各单元的内力或应力。载荷可以是体积力、边界力。节点集中力和温升载荷。材料常数（E、ν）可以是温度的函数。总体刚度矩阵等带宽方式存贮，且利用对称性，只存贮上三角部分的有关元素，以分块的形式记在磁盘文件上（图９－１），对称０图９－１在组装总刚阵时每次在内存中组装两块，组装好后记入磁盘，再组装另外两块。解方程时先将两块读入内存进行消元，消好一块后记入另一个磁盘文件，再读入一块继续进行消元。当作用于结构的载荷分为几种工况时，将各载荷向量（即每种工况下的方程右端项）拼成一个矩阵，同时消元求解。２、动力分析动力分析是解以下形式的广义特征值问题：求使（9-2-1）有非零解的ω及相应的非零解{φ},，ω称为固有频率、{φ}为相应的振型，它们组成一个特征对。特征对的总个数等于系统自由度个数，但工程中感兴趣的往往是最低的若干阶固有频率ω1、ω2、……、ωNF，相应的振型为{φ1}、{φ2}、……、{φNF}，有时相邻的若干阶固有频率相等（称为重根）或十分接近（称为密集根），这两种情况都可能给特征值问题的求解造成困难。SAP－5程序要求总刚阵[K]正定，提供了两种解（9-2-1）的方法：行列式搜索法和子空间迭代法。其中的行列式搜索法求解速度较快，可以六阶以下（包括六阶）的重根问题；但要求内存空间能容纳总刚度矩阵[K]和总质量阵[M]，因而限制了算题的规模；此外，当要求的特征对个数较多（例如数十阶时），行列式搜索法会遇到数值上的困难。子空间迭代法是一种适应能力很强的方法，它的总刚阵分块记在磁盘文件上，在求解过程中只把两块调入内存空间，因而算题的规模可以比较大；缺点是求解速度比较慢，且不排除“漏掉”某一阶特征对的可能性。一般情况下，由程序根据算题规模自行确定算法，但在有些情况下（例如算题规模不大，但要求特征对的个数却比较多），也可以人为地选择子空间迭代法。３、时间历程响应即解以下形式的方程组其中[K]为刚度矩阵、[C]为阻尼矩阵，[M]为质量矩阵、{R(t)}为任意形式的外干扰力。外激励除了以干扰力的方式出现外，也允许以基础的运动（平动或转动）的方式出现。SAP－5程序为（9-2-2）提供了两种解法：振型迭加法和直接积分法。其中振型迭加法适用于外激励频谱比较单纯（例如简谐干扰）的情况，绝大部分计算量将化费在求解固有频率和特征值）上。直接积分法则适用于外激励频谱比较复杂（例如，短时间冲击力）的情况，地震响应可作为这一类，到底选用哪种解法由用户自己决定。SAP－5程序只处理初始条件（初位移和初速度）为零的情况，而地震就属于这种情况，要能处理任意值的初始条件困难并不大，但初始条件的输入数据量有时会相当可观。分析过程中将求得各时间步上的节点位移和单元应力或内力，但这样做数据输出量将很大。为了突出重点。程序允许用户指定需要输出的节点和单元以及输出方式。４、响应谱分析本功能为分析基础做平动情况下结构的响应（节点位移，单元内力或应力）。与历程响应的不同之处在于；基础的运动不是以时间历程、而是以位移谱或加速度谱的形式给定。而输出的位移和应力则按规范加以处理，作为各节点位移和各单元应力的“最大响应”输出。如果输入地震谱曲线则可分析结构的地震响应；若输入路面谱则可分析车辆的响应。分析响应的方法为振型迭加法。MK2（9-2-1）tRUMUCUK(9-2-2)５、频率响应本功能为分析基础做简谐平动时结构的稳态响应。基础的频率可以在一定范围内扫描。节点位移和单元应力的“最大值”将被找出，故得到的即为各节点位移和单元应力的“幅－频”曲线。本功能中分析响应的方法也为振型迭加法。以上是SAP－5程序的基本分析功能。下面再介绍几种常用到的辅助功能。６、数据检查用户使用SAP－5程序算题需要输入算题的原始数据，数据的任何差错都可以导致上机失败，浪费了宝贵的机时，而输入数据的差错几乎是难以避免的。针对这种情况，SAP－5程序设置了数据检查功能，它将以尽可能少的计算量（不形成单刚、不组装总刚、不求解方程）完成下述几项任务：①检查输入数据有无格式上的错误，并将输入数据按其应有的意义加标题打印输出，供用户进一步检查。②检查算题的规模是否为所用机器的内存所容许。并将判断结论告知用户③求得总刚阵的阶数和半带宽，供用户估算正式计算所需的机时，费用和需要的外存空间。７、带宽优化本功能是将结构的节点重新编号，以选出一种带宽较小的编号方案，这样可以大大减少数据的存贮空间和解方程的计算量。输出节点位移时仍按原来用户的编号输出。８、结构绘图当计算机配有绘图仪时，可以绘制以下输出图形：①检查态只绘制结构网格图，用户可根据这种图形检查节点坐标或单元拓朴数据有无错误。②进行静力分析时，绘制一份原网格图和各式况的变形图。③进行动力分析时，绘制一份原网格图和所求各阶振型的振型图。上述所有图形可以是整个结构的投影图，也可以是部分结构的放大投影图。程序将自动调整比例系数并告之用户。以上是SAP－5程序的主要功以能。也是一般通用分析程序需要具备的基本功能。§9-3SAP－5程序的单元库SAP－5程序的单元库包括了以下11种单元１、空间桁架单元这是一种两个节点的等截面直杆单元，它的力学模型同第§２－１节中的杆单元相同，区别仅在于单元可以在三维空间中取任意的方位，每个节点有三个自由度。单元的节点自由度为单元刚度矩阵为。２、空间梁单元这是一种两个节点的直梁单元，比§２－２中的梁单元复杂。单元可以在三维空间中取任意方位。每个节点有六个自由度，单元节点自由度为Tjjjiiiwvuwvu66y,vx,uz,wij图９－２x,u,θxz,w,θzij图９－３y,v,θyTzjyjxjjjjziyixiiiiwvuwvu单元刚度矩阵为。在单元分析中综合考虑了拉压、扭转、弯曲、剪切变形。３、空间膜单元这是一个四节点四边形等参数单元，单元可以在三维空间中取任意方位，但四个节点必须在同一平面内，单元处于平面应力状态。单元可以退化为常应变三角单元，也可以增加非协调项成为二维Wilson非协调单元，第六章中已经证明，当单元为矩形时可以通过分片检验，在这种情况下非协调项有助于改善单元内精度。单元材料可以是正交各向异性材料。图９－４。４、二维有限元这是平面内的四节点等参数单元。可以退化为常应变三角元。也可以加非协调项成为Wilason非协调元，本单元可以作为平面应变单元、或平面应力单元或轴对称单元使用（图９－５）５、八节点三维Wilson非协调单元这种单元是在八节点三维等参数单元位移场中加入了九个非协调项，即当单元为长方体时可以通过分片检验，非协调项有助于改善单元内的精度。本单元有24个外自由度9个内自由度，单元分析中先形成的单元刚度矩阵，再凝聚掉9个内自由度。以的单元刚度矩阵进入总刚度矩阵（图９－６）６、板壳单元本单元为LCCT－9板单元或4LCCT－9个拼成的四边形单元，也可以用LCCT－9平板单元来逼近壳体，本单元可以在空间取任何方位，用常应变三角元描述平面应力部分。用LCCT－9单元描述弯曲部分。每个节点有六个自由度，但绕中面法线的转动自由度必须加以约束。单元的材料可以是正交各向异性材料（图９－７）1212y,vx,uil图９－5kjζηξ87654321图９－６)1()1()1()1()1()1()1()1()1(292827812625248123222181iiiiiiiiiwNwvNvuNu33332424y,v,θyx,u,θxz,w,θzij图９－７jy,v,θyx,u,θxz,w,θziljkoy,vx,uz,wil图９－4kj７、边界单元这种单元实际是一根拉压或扭转弹簧。可以用来描述弹性支承。当弹簧刚度取很大数值时，还可以实现指定位移或斜支承约束条件。８、八~二十一节点三维等参数单元本单元节点个数可在八~二十一范围内选择，当节点个数取到二十时，单元可以有较好的精度和适应能力，单元的面也可以是曲面，组成单元的材料可以是正交各向异性材料（图９－８）。９、伪单元这是一个由用户自行定义的只包括两个节点的单元。单元刚度矩阵的元素由用户输入。利用这个单元可以处理仅涉及两个节点的约束关系，例如光滑接触等（图９－９）。１０、读入单刚单元这也是一个由用户自行定义的单元，但节点个数不限，涉及到的自由度不超过４８，单元刚度矩阵的元素由用户输入，利用这个单元可以处理涉及到三个或三个以上节点的位移约束关系。１２、管单元本单元可以是直管单元或圆弧形弯管单元。每个单元两个节点，十二个自由,管材料为各向同性材料。当使用这种单元时，规定：总体坐标的轴必须铅垂向上。（图９－１０）SAP－5程序原文本序号为１１的单元暂缺。引入我国后。根据实际需要有的单位寻单元库进行了扩充，目前，有的把四九节点等参数单元作为序号为１１的单元，有的把八十四节点混合刚度三维元作为序号为１１的单元，尚未来得及加以统一。y,vx,uz,w图９－8图９－９x,u,θxz,w,θzij图９－１０y,v,θy§9-４使用SAP－5程序的方法使用SAP－5程序的一般要经过以下几个主要步骤：１、结构的离散化将待分析的结构离散化为单元。一个结构可能要用到SAP－5程序的几种单元。每一种单元可编为一组。在各组内将单元从１开始顺序编号。２、节点编号和坐标将所有节点从１开始顺序加以编号，建立总体直角坐标系。总体坐标系轴的选择一般没有限制。但有些情况下（例如使用管单元、三维Wilson非