有限元基础理论教程lecture09

5.4六面体等参单元三维弹性力学问题的有限元法的基本步骤与平面问题的步骤一样，包括单元离散化、选择单元位移模式、单元分析、整体分析和方程求解。在分析三维问题时，所选择的单元主要为四面体单元和六面体单元。每个单元节点上定义有三个位移分量u、v、w。三维问题有限元法有以下两个主要难点：1）单元划分比较复杂2）计算规模大常用的三维等参单元有六面体八节点等参单元和六面体二十结点等参单元。等参单元的位移模式和坐标变化式采用相同的形函数，iiniiiniiiniwNwvNvuNu),,(),,(),,(111iiniiiniiinizNzyNyxNx),,(),,(),,(111ANSYS提供的Solid45单元就是六面体八节点等参单元，每个节点有代表x、y、z三个方向位移的三个自由度（DOF，DegreeofFreedom）六面体八节点等参单元的形函数为，)8,...,1()1)(1)(1(81iNiiiiiii,,为结点的局部坐标ANSYS提供的Solid95单元是六面体二十节点等参单元，每个节点有代表x、y、z三个方向位移的三个自由度。)8,...,2,1()2)(1)(1)(1(81iNiiiiiii)19,17,11,9()1)(1)(1(412iNiii)20,18,12,10()1)(1)(1(412iNiii)16,15,14,13()1)(1)(1(412iNiii利用坐标转换，将整体坐标系下的积分转换为在局部坐标系下的积分。在整体坐标系中的体积微元为，dxdydzzdydxddV)(微矢量在局部坐标系中表示为，321dxdxdxxd321dydydyyd321dzdzdzzddddJdddzyxzyxzyxdxdydz三维单元的雅可比矩阵为，zyxzyxzyxJ][dddJBDBKTe]][[][][111111单元刚度矩阵在局部坐标系中的积分式为，nnnnnniniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiinizyxzyxzyxNNNNNNNNNzNyNxNzNyNxNzNyNxNJ............][222111212121111111111iiiiiiNNNJzNyNxN1][用高斯积分计算出单元刚度矩阵的系数。用上节中类似的公式就可以在局部坐标下完成单元的载荷移置。dddJtpNRTe}{][}{111111ddJtPNRTe111111}{][}{}{][}{),,(000PNRTe体力移置，面力移置，集中力的移置，用单元的积分控制选项确定积分方式：Solid45单元采用2×2×2积分(默认方式)，或采用单个积分点的减缩积分。Solid95单元采用14点积分(默认方式)，或采用2×2×2的减缩积分。当单元表面为四边形时，Solid45单元采用2×2积分，Solid95单元采用3×3积分。当单元表面为三边形时，Solid45单元采用3点积分，Solid95单元采用6点积分。6.稳态热传导问题的有限元法•6.1热传导方程与换热边界•6.2加权余量法•6.3稳态温度场分析的一般有限元列式•6.4三角形单元的有限元列式•6.5温度场分析举例6.1热传导方程与换热边界物体内部的温度分布取决于物体内部的热量交换，以及物体与外部介质之间的热量交换，一般认为是与时间相关的。传热过程是基本的物理过程之一，涉及许多工程应用领域。法国数学家JeanFourier在1822年提出了导热计算的基本规律：在物体内发生纯导热时，单位时间内通过垂直于热流方向的单位面积的热流量，与等温面法线方向上的温度增量成正比，而与法向距离成反比。nTq对于各向同性材料，热传导方程可写为以下形式，QzTyTxTtTc222222除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件和边界条件。初始条件是指物体最初的温度分布情况，zy,x,TT00t物体内部的热交换采用以下的热传导方程（Fourier方程）来描述，QzTzyTyxTxtTczyx边界条件是指物体外表面与周围环境的热交换情况。在传热学中一般把换热边界条件分为三类。1)给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件。ssTT),,,(tzyxTTss2)给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类边界条件。sszzyyxxqnzTnyTnxT)(),,,()(tzyxqnzTnyTnxTsszzyyxx3）给定对流换热条件，称为第三类边界条件。物体与其相接触的流体介质之间的对流换热系数和介质的温度为已知。)(sfzzyyxxTThnzTnyTnxTh为换热系数，W/(m2K)Tf为流体介质的温度，Ts为物体表面的温度。如果边界上的换热条件不随时间变化，物体内部的热源也不随时间变化，在经过一定时间的热交换后，物体内各点温度也将不随时间变化，这类问题称为稳态（Steadystate）热传导问题。三维问题的稳态热传导方程为，0QzTzyTyxTxzyx对于各向同性的材料，可以得到Poisson方程，0zTyTxT222222Q不包含内热源，各向同性材料中的温度场满足Laplace方程0zTyTxT222222在分析稳态热传导问题时，不需要考虑物体的初始温度分布对最后的稳定温度场的影响，因此不必考虑温度场的初始条件，而只需考虑换热边界条件。计算稳态温度场实际上是求解偏微分方程的边值问题。由于实际工程问题中的换热边界条件比较复杂，在许多场合下也很难进行测量，如何定义正确的换热边界条件是温度场计算的一个难点。6.2加权余量法微分方程的边值问题，可以一般地表示为未知函数u满足微分方程组，0...)()()(21uAuAuA满足边界条件，0....)()()(21uBuBuB（6-10）(6-11))(内在)(上在二维稳态热传导问题的控制方程与边界条件如下：0)()()(QyTyxTxTA)(内在00)(ssqnTTTTB)(1上在)(2上在上述微分方程只有在区域比较规则、边界条件比较简单时才得到精确解。对于复杂的工程问题，微分方程组的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似解。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数，一般表示为NaiiniaNuu1ia为待定系数，iN为已知函数，被称为试探函数。试探函数要取自完全的函数序列，是线性独立的。控制方程（6-10）的余量为，)(NaAR边界条件（6-11）的余量为，B(Na)R选择一族已知的函数，使余量的加权积分为零，即强迫近似解所产生的余量在某种平均意义上等于零。0ddTjTjRWRWjjWW和为权函数这种采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。对权函数的不同选择就得到了不同的加权余量法，常用的方法包括配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法（Galerkinmethod）。配点法（Collocation)：强迫余量在域内的n个点上为零。Galerkin法：直接采用试探函数序列作为权函数。)(jjjxxWW),...,1(njIdWjjjNWjjjNWW下面用求解二阶常微分方程为例，说明用加权余量法求解微分方程的方法。)10(022xxudxud0x0u1x0u方程的边界条件为，)1(1xxN)1(22xxN))(1(~212211xaaxxaNaNu取两项试探函数，)62()2()(32221xxxaxxaxxR2）用Galerkin法求解权函数为，11NW22NW1）用配点法求解为配点取3/2,3/1xx027291631)31(21aaR0275091632)32(21aaR)1731.01948.0)(1(~xxxu0)]62()2()[1(3222110dxxxxaxxaxxx0)]62()2()[1(32221210dxxxxaxxaxxx1707.0,1924.021aa)1707.01924.0)(1(~xxxu该方程的精确解为，xxu1sinsin近似解与精确解的结果比较xxu1sinsin)1731.01948.0)(1(~xxxu)1707.01924.0)(1(~xxxux=0.25x=0.5x=0.750.044010.069750.060060.044640.070340.060870.044080.069440.06008假设材料的导热系数为1，一维传热问题的微分方程为，)0(0)(22LxQdxTdTALxLLxxQ2/,02/0,1)(边界条件为，0:,0TLxx取富立叶级数作为近似解，niiLxiaT1sin~两项近似解为，LxaLxaT2sinsin~21LxLaLxLaQxR2sin)2(sin)()(2221用配点法，配点位置为，4/Lx4/3Lx0)2(22)(1)4/(2221LaLaLR0)2(22)()4/3(2221LaLaLR2122La2128182LaaLxLLxLT2sin81sin22~22精确解，21221,2/0CxCxTLx43,2/CxCTLxL0,02Cx0,43CLCLx待求的函数在x=L/2处连续，一阶导数也连续。431222221CLCLCL312CCLxLxTLx8321,2/0288,2/2LxLTLxL00.10.20.30.40.50.60.70.800.10.20.30.40.50.60.70.80.91x/LYCollocationAnalytic2LTY近似解与精确解的对比