有限单元法第一章

1.13.如何利用最小位能原理建立数值解的求解方程？方程有何特点？解的收敛性和极值性的条件是什么?建立系统总位能，1()()()()2PijiiijklijkliiiVSVSUudVudSDfudVTudS真实位移使系统总位能取最小值，0P0ia,其中ia为位置参数。方程系数对称正定。解的收敛性和极值性的条件：一阶变分为0，二阶变分大于0。1.14.什么是最小余能原理?它是如何导出的?场函数是什么?它事先应满足什么条件?对场函数的试探函数有什么要求?最小余能原理：在所有在弹性体内满足平衡方程，在边界上满足力的边界条件的可能应力中，真实的应力使系统的总余能取驻值。推导过程：由几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式，即虚应力原理，0uiijijiVsdVTudSijijklklC代入得0uiijijklkliVsCdVTudS1()()2ijijklklijklijklmnCCV0c其中12uicijklijkliVSCdVTudS由泛函知场函数为应力。事先满足应力边界条件。场函数的试探函数的要求：完备性和协调性。练习题1.3某问题的微分方程是22220cQxx在内边界条件是=（在1上）qn（在2上）其中c和Q仅是坐标的函数，试证明此方程的微分算子是自伴随的，并建立相应的自然变分原理。解：由xynnnxy（xn，yn为边界外法线的方向余弦）有：222222222222()()()()()(xyxxyyxxvLdvdxyvvvnddvnddxxxyyyvvvndnddxxxvvvndnddyyyvdvnnvxyxx)()..(,)yyvnndyyLvdbtv假设已事先满足1强制边界条件，则问题的迦辽金提法如下：22222()()0cQdqdxyn由上述有2221()2xdnddxxx2221()2ydnddyyy带入化简得：()0，其中222111()()()222cQdqdxy1.4在习题1.3给出的微分方程中，如令c=0，Q=2，并令在全部边界上0，则表示求解杆件自由扭转的应力函数问题，截面的扭矩=2Tdxdy。现有一46的矩形截面杆，给定近似函数为3123133coscoscoscoscoscos646464iiixyxyxyaNaaa使用里兹法求解，并算出截面扭矩。解：由近似函数表达式知，3x或2y时0，所以积分区域如下：-22-33xy将，0c和2Q代入1.3所求泛函，由泛函变分为0得0ia4142434608/(13)3.65512/(15)0.351536/(85)0.19aaa代入=2867.3Tdxdydxdy其中为第一象限积分面积.