振动与波动4,5.

大学物理电子教案编制者周卓微振动与波动4第19章机械波第1节机械波的产生和传播第2节波的描述第3节简谐波波动方程第4节波的能量第5节机械波的干涉第6节机械驻波第19章机械波波动：振动的传播，物质运动的形态（横波、纵波）。机械波电磁波物质波本质不同，但具有共同特征1、都是由物质间的相互影响引起的。2、以有限的速度传播，伴随着能量的传递。3、都有干涉、衍射现象，横波有偏振。4、服从共同的数学规律。§19—1机械波的产生和传播波源（激发波动的振动系统）连续的弹性媒质1一、产生的条件波二、产生与传播1、波的传播过程是振动状态的传播过程2、波是指媒质整体表现的运动状态，其特点是：相邻质点的振动位相依次落后3、横波：振动方向垂直于传播方向（固体）纵波：振动方向平行于传播方向（固、液、气）3是位相的传播，能量的传播。注意：（质点本身不随波运动）§19—2波的描述一、波的几何描述1、波阵面（波面）：振动位相相同的点组成的面波阵面球面：球面波平面：平面波3点波源产生球面波球面波在远处可看成平面波4平面波波前波线波面波面波线波前2、波前：位相与振源的位相同3、波线：发自波源，与波面垂直指向波的传播方向的射线二、描述波动的物理量：4、频率：单位时间内，波推进的距离中包含的完整的波长的数目注意：1TTu振波振波,TT振波vu51、波速：u振动状态（位相）传波的速度（大小由媒质的性质决定)2、波长：同一波线上，两相邻的位相差为2的质点间的距离（一个完整的波的长度）3、周期：T波传播一个波长所用的时间6、位相：描述波的振动状态的物理量5、波数：n波线上2长度内包含波长的个数n=2/§19—3简谐波波动方程波源的各点都作简谐振动，产生的波是简谐波，前进中的波称为行波一、平面余弦简谐波波动方程（以横波为例，y方向振动，x方向传播）动力学方程运动学方程（波形方程）222221tyuxyAwju])([jwuxt——波的位相61、波动方程（无限大均匀媒质无吸收的情况）])(cos[jwuxtAy2、波动（形）方程的意义：])(cos[jwuxtAy),(txfy（1）将波动方程确定X=X0得该处振动方程（描述该处质点在不同时刻的‘态’）（2）将波动方程确定t=t0，])(cos[0jwuxtAy（表示t0时刻，波线上各点的‘态’）（3）当t、x均为变量时,波动方程表示任意时刻、任意质点的‘态’。总之，波形方程是波线上各个质点的振动方程！7)(tfy)(xfy3、波动方程的写法——例1：已知坐标原点的振动方程，写出波动方程tAywcos0xyou解：只需写出任意一点p(x,0)的振动方程即可！*波向右传播，P点处的振动比O点处落后落后的时间是)cos(ttAypww*所以，P处（即任意处）的振动方程是:)](cos[uxtAyw这就是波动(形)方程！8pt=x/u落后的位相是wt已知某点振动方程写波动方程*显而易见，若原点的振动方程是一般式)cos(jwtAyoupXYOx波动方程是upOxY图2注意：波动（形）方程的表达式与坐标轴、坐标原点的选择有关图2等效于XYuO9])(cos[jwuxtAyXxu])(cos[jwtAy图1例2、已知P点的振动方程)cos(jwtAypupXYO试写以O为原点的波动方程解：选择P点为参考点，任选一点‘x’LuLx])(cos[jwtAyxLuxjw])(cos[tAy例3、若是左图情况，波动方程如何？10波由参考点传到x点,需时间：波动方程为：uLx注意：1、波动方程还有其它形式根据Tw2uT])(cos[jwuxtAy有以下形式：])(2cos[jxTtAy])(2cos[jxtAy])(2cos[jxutAy])(2cos[jutxAy112、球面波：)(cosurtrAyw回顾19—3简谐波，波动方程。一、平面余弦简谐波的波动方程1、波动方程2、波动方程的意义3、波动方程的写法4、波形曲线由波动方程y=(x,t)令t=t0,由y=f(x)作出的函数图线。如下图看出：（1）（2）各质点在t0时刻的实际位置（对横波）（3）各质点在t0时刻（或下时刻）的运动方向（4）各质点的初位相（找出t=0时刻的波形图即可）（5）可写出波动方程12)(myt0=T/4t=001234)(mx10A=0.1m,w=2/T=6T=/u=4/12=1/3(s)=4m,u=12(m.s-1))(my0j1j22j03j24j（4）由旋转矢量知0、1、2、3、4等各点的初位相1j2j3j4j（5）根据Awj0u可写出波动方程)6cos(100ty)]()12(6cos[10mxtyu13yt=T/4t=001234)(mxj0u=12(m.s-1)作业19—5、6、7勿急躁！§19—4波的能量一、质点振动的速度和加速度由)](cos[uxtAyw)](sin[uxtAtyvww]2)(cos[wwuxtA)](cos[222uxtAtyaww])(cos[2wwuxtA看出：1、v是质点的振动速度，与波速u是不同的220maxav反之亦然143、v与a的位相差为2、v与y的位相差为二、波的能量xXoV设一平面余弦波在密度为的理想媒质中沿x方向传播V的速度为)(sinuxtAvww2)(21vmWk)(sin)(21222uxtAVwwkpWW)(sin)(21222uxtAVwwpk)(sin222uxtVAww注意：总能量是时间和位置的函数！？15三、能量密度VWw)(sin222uxtAww也是时间和位置的函数四、平均能量密度TTw01dtuxtA)(sin222www2221A是常数注意：谐振子波minmaxpkWWmaxmaxpkWW{能量守恒能量不守恒！16五、能流单位时间通过垂直于波传播方向某面积的能量PuswusuxtA)(sin222ww瓦平均能流usAP2221w六、能流密度：单位时间通过垂直于波传播方向单位面积的能量SPIuuxtA)(sin222ww平均能流密度IuA2221w波的强度S坡印廷矢量17uus注意：在无吸收的理想媒质中1、对平面波：u21AA2、对球面波：一周期内穿过波面S1,S2的总能量相等1S2S1S2SusAP2221w212221211SSAAPP222122212122212144rrAASSAAPP11221rrAA21AA1r2r18§19—5机械波的干涉当几个波源产生的波在介质中相遇时，可以互不相干地通过介质，保持原有的频率、波长、振动方向等特性，就象没有遇到其它波一样。在相遇区域内，介质质点的合位移是各波在该处单独引起的分位移的矢量和。（波动方程是线性的，遵循迭加原理）二、波的干涉一、波的迭加原理1、干涉现象：满足一定条件的两列波相遇迭加，在迭加区域内，有些点的振动始终加强，有些点始终减弱，呈现出有规则的稳定分布的现象。声波干涉：强的地方总强，弱的地方总弱。光波干涉：亮的地方总亮，暗的地方总暗。水波干涉：凸的地方总凸，凹的地方总凹。19可以产生干涉现象的波叫相干波，产生相干波的波源叫相干波源。2、相干波源的条件：非任意波迭加都能产生干涉波源振动方向相同频率相同有恒定的相位差3、干涉相长、相消的条件：（理想媒质、相干波源）S1、S2的振动方程为：)cos(111jwtAy)cos(222jwtAyS1S2r1r2PP点的振动方程为：])(cos[1111jwurtAy])(cos[2222jwurtAy将w=2/T，u=/T代入：)2cos(1111jwrtAy)2cos(2222jwrtAy20)2cos(1111jwrtAy)2cos(2222jwrtAyS1S2r1r2Pjjj)(21212rr合振动为y=Acos（wt+j）jcos2212221AAAAA（若相干波源的初位相相同，即：j1=j2时）相长相消的“波程差”条件为：)(212rr)12(2kkmax12Akrrrmin2)12(Akrk=0，1，2…...21max2AAAkj21min)12(AAAkjk=0，1，2…...21相长相消的“位相差”条件为：大学物理电子教案编制者周卓微振动与波动5§19—6机械驻波一、驻波的形成：两列振幅相等的相干波相向而行，在相遇的区域迭加干涉，形成驻波22二、驻波的波动方程：假定两列相向而行的平面余弦波为)2cos(1xtAyw)2cos(2xtAyw迭加、干涉、合成：txAyyywcos2cos221三、驻波的特征1、振幅是x的函数02minmax驻驻AAA2、A驻=0处为波节,波节的位置：令02cosx2)12(2kx)2,1,0(k4)12(kx2x相邻波节间距：233、A驻=2A处为波腹，波腹的位置：令12cosxkx22kx)2,1,0(k相邻波腹间距：2x4、驻波的位相关系5、波形不动，分段振动（故而‘驻’波）6、驻波中没有净能量传递，能流密度0反入III7、半波损失：波由波疏媒质传到波密媒质，在分界面上发生反射时，反射点一定是波节20minjrA24例1、距某反射壁L=5处有一波源发出频率为w振幅为A的平面余弦波.波速为u，若选波源处为坐标原点，初位相为零，求：（1）此平面波的表达式Ox5LuXtAywcos0)(cosuxtAyw以点为参考点，波由MxMx需时：tuxL2x(2）反射波的表达式（假定无半波损失）]})(2[cos{uxuxLtAyw反25]})(2[cos{uxuxLtAyw反)]22(cos[uxxLtAw)]10(cos[uxtAw)10(cosuxTtAw解法一：xAA2cos2驻42cos2A解法二：j)(uxtw)(uxtw0A解法三：4)4(LLr292550A0)(cosuxtAyw反（3）距o为/4处P点的振幅OP45LMTu4426例2、波长为的平面简谐波沿X正向传播（如图）已知Q处振动方程为，波在M处遇一波密媒质反射面，且假设反射波振幅仍为A，求：（1）该平面简谐波方程Ox5LuXM2QP以Q为参考点)cos(wtAyQ])2(cos[wuxtAy入射)222cos(wxtA)2cos(wxtA（2）反射波方程以P为参考点，波由PMPuxL)(2wxuxLtAy2])(2[cos{反射}27+所需时间：整理后得]192cos[wxtAy反射)2cos(wxtAy入射（3）驻波方程)59cos()592cos(2wtxAy)592cos(x波腹1592xk)2,1,0(kk1,0,1,,8,9,10x421,419,4,4共10个波腹2)59(kx28例3、同一媒质中的两个相干波源，分别位于X1=-1.5m和X2=4.5m处，其振幅均为A，频率都是100HZ，波速u=400m.S-1，媒质无吸收，当X1处的质元振动