振动习题1

1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解：系统为二自由度系统。当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k因此系统刚度矩阵为：kkkk4222系统质量矩阵为：mm200系统动力学方程为：0042222002121xxkkkkxxmm频率方程为：024222)(Δ22mkkkmk解出系统2个固有频率：mk)22(21，mk)22(222。在图示振动系统中，已知：物体的质量m1、m2及弹簧的刚度系数为k1、k2、k3、k4。（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k1=k3=k4=k0，又k2=2k0，求系统固有频率；（3）取k0=1，m1=8/9，m2=1，系统初始位移条件为x1(0)=9和x2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统。当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。因此，系统刚度矩阵为：3222421kkkkkkk系统质量矩阵为：2100mm系统动力学方程为：00002132224212121xxkkkkkkkxxmm（2）当0431kkkk，022kk时，运动微分方程用矩阵表示为：003224002100002121xxkkkkxxmm2x1x频率方程为：04)3)(4(20220210kmkmk08)43(202021421kkmmmm求得：)168943(22221212121021mmmmmmmmk)168943(22221212121022mmmmmmmmk3。质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。图E1.2解：如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121mRmRmRITB222212aRkaRkU利用n和UT可得：mkRaRmRaRkn343422kkACaR4。如图T2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。图T2-19解：系统动能为：2222212222222212123212121212121xmxmRImrxrmxmRxIxmTe系统动能为：2222211222112221212121xkxRRkkxRRkxkVe根据：maxmaxVT，maxmaxxxn2221222112223mRImRRkknm1m2IR2R1k2k1rx5。求图2-1所示系统的等效刚度。解：如图所示，当O点受力时，弹簧k1和k2所受载荷为F1和F2,则有：babFF1baaFF2弹簧k1和k2由此产生的位移为x1和x2，则)(11bakFbx)(22bakFaxO点位移为：)()()(2212212112kakbbaFbaaxxxx∴系统的等效刚度为：221221212)(kakbbaxFk