振动力学5多自由度系统振动之二自由振动.

多自由度系统振动主讲：周利东太原科技大学机械工程学院2011-11-11教学内容•多自由度系统的动力学方程•多自由度系统的自由振动•频率方程的零根和重根情形•多自由度系统的受迫振动•有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动•多自由度系统的自由振动•固有频率•模态•模态的正交性•主质量和主刚度•模态叠加法•模态截断法多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动•多自由度系统的固有频率作用力方程：)(tPKXXMnRXnnRKM、nRt)(P固有振动方程：（自由振动方程）0KXXM在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。假设系统的运动为：)(tfφXnRX1)(Rtf运动规律的时间函数常数列向量nRφ多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动Tn][21φTnxxx][21X0KXXM)(tfφX代入，并左乘：Tφ0KM)()(tftfTTφφφφφφφφMKTTtftf)()(：常数M正定，K正定或半正定对于非零列向量：φ0φφMT0φφKT20令：对于半正定系统，有0对于正定系统必有02多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动nRXnRφ2)()(φφφφMKTTtftf0)()(2tftf0,)(0),sin()(battftatfa、b、为常数0KXXM)(tfφX正定系统0（1）正定系统只可能出现形如的同步运动)sin(taφX系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动（2）半正定系统半正定系统0可能出现形如的同步运动)sin(taφX也可能出现形如的同步运动)(batφX（不生弹性变形）主振动首先讨论正定系统的主振动M正定，K正定0主振动：)sin(taφX正定系统：0KXXMnRX将常数a并入中φ)sin(tφXTn][21φ代入振动方程：0)(2φMK多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零φ0MK2特征方程0222212122222222212211211221211211nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk0222212122222222212211211221211211nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk021)1(212nnnnaaa解出n个值，按升序排列为：222210ni：第i阶固有频率频率方程或特征多项式仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数1：基频多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动采用位移方程求解固有频率)(tFPXXFM位移方程：nRX1KF柔度矩阵0XXFM自由振动的位移方程：主振动：)sin(tφXTn][21φ代入，得：0IFMφ)(特征值2/1？解释：0)(2φMKφφMK2φφMKI1210)1(2φIFM2/1多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动采用位移方程求解固有频率)(tFPXXFM位移方程：nRX1KF柔度矩阵0XXFM自由振动的位移方程：主振动：)sin(tφXTn][21φ代入，得：0IFMφ)(特征值2/1特征方程：0IFM特征根按降序排列：021n2/1ii多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动例：三自由度系统kkkkkkk30203Kmmm000000M030203321222mkkkmkkkmk0)(2φMK2km03101210133210MK2113243mk/1mk/32.12mk/23m2kmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动•多自由度系统的模态（主振型）正定系统：0主振动：)sin(taφX0KXXMnRXnnRKM、nRφ0MKφ)(2特征值问题：特征值φ特征向量n自由度系统：（固有频率）（模态）i)(iφ一一对应ni~11)()(1)(niniiRφ0MK)(2)(iiφ)(iiφ、代入，有：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动0MK)(2)(iiφTinii][)()(1)(φ当不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有一个是不独立的i设最后一个方程不独立,把它划去,并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端)(iφ)(in)(,12,1)(11,121,1)(11,121,1)(121)(11,121,1)(111211)()()()()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用表示的)(in)(1)(2)(1inii，，，)(iφ否则应把含的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动为使计算简单，令：1)(inTiniii1)(1)(2)(1)(φ则有：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动0MK)(2)(iiφTinii][)()(1)(φ当不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有一个不独立i设最后一个方程不独立，把它划去,并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端)(iφ)(in)(,12,1)(11,121,1)(11,121,1)(121)(11,121,1)(111211)()()()()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk例：三自由度系统kkkkkkk30203Kmmm000000M030203321222mkkkmkkkmk0)(2φMK2km03101210133210MK2113243mk/1mk/32.12mk/232kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动0310121013321113243以为例进行说明11将代入，有：110210111012321020023232121由第三个方程，得：235.005.0221代入第二个方程：0221与第一个方程相同方程组中有一式不独立例如，将第三个方程去掉321210203121112因此若令131122可解出多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动整理0MK)(2)(iiφTinii][)()(1)(φ)(,12,1)(11,121,1)(11,121,1)(121)(11,121,1)(111211)()()()()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk令：1)(inTiniii]1[)(1)(2)(1)(φ解得：)(in的值也可以取任意非零常数ia)(iiaφ将解得特征向量在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为归一化多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动正定系统：0主振动：)sin(taφX0KXXMnRXnnRKM、nRφ)(iiaφφ将，代入主振动方程ii并将改为第i阶主振动：)sin()()(iiiiitaφXTiniixx][)()(1)(XTinii][)()(1)(φ系统在各个坐标上都将以第i阶固有频率做简谐振动，并且同时通过静平衡位置i多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动第i阶主振动：)sin()()(iiiiitaφXTiniixx][)()(1)(XTinii][)()(1)(φ)()()(2)(2)(1)(1ininiiiixxx比值：第i阶特征向量中的一列元素，就是系统做第i阶主振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值)(iφ虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动形态已确定描述了系统做第i阶主振动时具有的振动形态，称为第i阶主振型，或第i阶模态)(iφ主振动仅取决于系统的M阵，K阵等物理参数。这一重要概念是单自由度系统所没有的多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动正定系统：0KXXMnRXnnRKM、第i阶主振动：)sin()()(iiiiitaφXni~1系统的固有振动：niiiiinnnntatataat1)()(222)2(111)1()sin()sin()sin()sin()(φφφφXTiniixx][)()(1)(XTinii][)()(1)(φn个主振动的叠加模态叠加法由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动：)~1(,niaii初始条件决定多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动正定系统：0KXXMnRXnnRKM、0MKφ)(2特征值问题：特征矩阵记为B或)(B2iadjB)(i当不是重特征根时，可以通过B的伴随矩阵求得相应的主振型根据逆矩阵定义：BBBadj11两边左乘：BBBBIBadj0)()(iiadjBBi当时：0)()(2iiadjBMK或0MK)(2)(iiφTinii)()(1)(φ)(iadjB的任一非零列都是第i阶主振型)(iφ多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动例：求固有频率和主振型解：00322002121xxkkkkxxmm动力学方程：令主振动：)sin(2121txx或直接用0MKφ)(2002322122mkkkmk得：m2m2kkkx1x2多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动00322002121xxkkkkxxmm002322122mkkkmk002311221