振动力学与结构动力学第二章21

第二章单自由度系统的振动第一节单自由度系统的无阻尼自由振动一、自由振动的解0)()(tkytym)sin()(tAty)/(,)/(00220yyarctgyyA自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。lEI)(ty)(tym一.运动方程及其解mEIl)(ty)(tym)]([)(11tymty)()(11tymtyk0)()(2tyty令111121mmk二阶线性齐次常微分方程其通解为tctctysincos)(21由初始条件0)0(yy0)0(yy可得01yc/02yctytytysincos)(00令vAysin0vAycos/0)sin()(vtAty其中22020yyA00tanyyyt0Av/2T22020yyA00tanyy无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止。初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能二、单自由度系统的动力特性周期：园频率：工程频率：2Tmk2fstyggmgmmk1与外界无关,体系本身固有的特性与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系A、v不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关例:图示刚架其横梁的刚度为无限大，柱子的抗弯刚度，梁的质量m=5000kg，不计柱子的轴向变形和阻尼，试计算此刚架的自振频率。26105.4NmEI思考题：刚架如何振动？关键是求侧移劲度。HzfsradmkhEIkk502.4500010421,/284.28,126321求图示系统的固有频率（a）弹簧串联情况；（b）弹簧并联情况。(a)串联情况)(,),(,21212121212121212211kkmkkkkkkymgkkkkkmgkmgkmgyyymgykykstststststst思考题：串联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化？(b)并联情况mkkkkkkkmgymgykykyyystststststst212121221121,,,,思考题：并联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化？例：简支梁AB，重量不计。在梁的中点位置放一重为W的物体M时，其静挠度为yst。现将物体M从高度h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统振动的规律。当物体落到梁上后，梁、物体系统作简谐振动，只要定出简谐振动的三个参数：圆频率、振幅和初相角即可。ghyyyyyarctgyyyAygststst2,,,,00002020).14.05.49sin(86.2,14.0,86.2,/5.49,10,4.0tyradcmAsradygcmhcmystst).25.49sin(4.0,2,4.0,0tycmyAhst2.算例例一.求图示体系的自振频率和周期.3117121mlEIm)221213221(111lllllllllEIEImlT127223mEIlEIl=111=1ll/2l解:EIl3127例二.求图示体系的自振频率和周期.3332231mlEIEIlmEIl31132EImlT32=1解:23lEImEIllm/2EIEIll例三.质点重W,求体系的频率和周期.3113lEIkk解:EIkl11k111kk33lEIgWm/gWlEIk33例三：提升机系统重物重量NW51047.1钢丝绳的弹簧刚度cmNk/1078.54重物以的速度均匀下降min/15mv求：绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力Wv解：sradWgk/6.19振动频率重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置则t=0时，有：00xvx0)()6.19sin(28.1)sin()(cmttvtx)sin()cos()(00txtxtx振动解：W静平衡位置kxWv)()6.19sin(28.1)sin()(cmttvtx振动解：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：)(1021.21074.01047.1555maxNkAWkATTs动张力几乎是静张力的一半由于kmvvkkA为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度Wv例：圆盘转动圆盘转动惯量I在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置0kIIk/扭振固有频率02为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩)/(radmNkkI由牛顿第二定律：由上例可看出，除了选择的坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述完全相同。如果在弹簧质量系统中将m、k称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的。0kxxmmk/0kIIk/kI0mx静平衡位置弹簧原长位置k从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大0kxxmmk/0kIIk/kI0mx静平衡位置弹簧原长位置k例：复摆刚体质量m对悬点的转动惯量0I重心C求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率mg0Ia0C解：由牛顿定律：0sin0mgaI因为微振动：sin则有：00mgaI0/Imga固有频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法若已测出物体的固有频率，则可求出，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：0I20maIIcmg0Ia0C例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角300质量m=1kg弹簧刚度k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零求：系统的运动方程300k重力加速度取9.8m/s2解：x0以静平衡位置为坐标原点建立坐标系振动固有频率：)/(701/1049/2sradmk振动初始条件：0030sinmgkx)(1.00cmx考虑方向00x初始速度：运动方程：)()70cos(1.0)(cmttx300k)sin()cos()(00txtxtx•能量法（补充）对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能T和势能V之和保持不变，即：constVT0VTdtd或：弹簧质量系统动能：221xmT势能：mgx（重力势能）（弹性势能）dxxkx0)(0VTdtd0)(xkxxmdxxkmgxVx0不可能恒为0x0kxxmkmg221kxxkmgx221kx0mx静平衡位置弹簧原长位置k零势能点222121kxxmVT如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置动能：221xmT势能：xkxdxmgxV00xkxxmgxxm0VTdtdmgkxxm设新坐标kmgxy0kyym221kxmgxx0mxk零势能点y静平衡位置弹簧原长如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项考虑两个特殊位置上系统的能量静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大021max2maxmaxVxmT最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大2maxmaxmax210kxVTconstVT)sin()(tAtxmk/maxmaxxxmaxmaxVTmaxmax对于转动：x是广义的0mx静平衡位置k静平衡位置最大位移位置xmax0mxk例：如图所示是一个倒置的摆摆球质量m刚杆质量忽略每个弹簧的刚度2k求:(1)倒摆作微幅振动时的固有频率(2)摆球时，测得频率为，时，测得频率为，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？m0.9kgfZ1.5Hm1.8kgZ0.75Hlmak/2k/2（1）解法1：广义坐标动能2222121mlIT势能maxmaxUTmaxmax22mlmglka零势能位置1cos1212122mglakV零势能位置1)(21222mglka2221kamgl112sin2222)(21mglkalmak/2k/2解法2：零势能位置2动能2222121mlIT势能cos212122mglakV0)(2222mglkaml0UTdtd0)(2222mglkaml22mlmglka零势能位置22sin2121222mglka2222121mglmglkamglmglka22)(21lmak/2k/2（2）平衡临界位置的确定20kamgl利用：m0.9kg，测得频率f为Z1.5Hm1.8kg，测得频率f为Z0.75H224.5gll22212.6kal，2.8kgm•瑞利法－利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限mkx0－这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高例如：弹簧质量系统设弹簧的动能:221xmTtt系统最大动能：2max2maxmax2121xmxmTt系统最大势能：2maxmax21kxVmaxmaxxxtmmk若忽略，则增大tm2max)(21xmmttm弹簧等效质量mtmkx0因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限•等效质量和等效刚度方法1：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：221xMTe221xKVe当、分别取最大值时：xx则可得出：maxTTmaxVVeeMK/Ke：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等动能2221mlT势能22mlmglka22)(21mglkaV2mlMemglkaKe2零势能位置1lmak/2k/2第二节单自由度系统的有阻尼自由振动一、有阻尼自由振动的解特征方程的根：122,1r1、临界阻尼情况：不产生振动的最小阻尼])1([)(,,1002,1tytyetyrt2、超阻尼情况mc2,1或][)(000tshyytchyetyDDDt体系仍不作振动，只发生按指数规律衰减的非周期蠕动，上式也不含简谐振动因子，由于大阻尼作用，受干扰后，偏离平衡位置体系不会产生振动，初始能量全部用于克服阻尼，不足以引起振动。3