振动和波5

1振动和波习题课壹内容提要一.振动1.简谐振动的定义：恢复力F=-kx微分方程d2x/dt2+2x=0运动方程x=Acos(t+0)弹簧振子=(k/m)1/2，单摆=(g/l)1/2，复摆=(mgh/J)1/2；2.描述谐振动的物理量：(1)固有量：固有频率，周期T，频率ν其关系为=2/T=2νν=1/T(2)非固有量，振幅AA=(x02+v02/2)1/2位相=t+0初位相0tan0=v0/(x0)(再结合另一三角函数定出0)；3.旋转矢量法(略)；4.谐振动能量：Ek=Esin2(t+0)Ep=Ecos2(t+0)E=Ek+Ep5.谐振动的合成：(1)同方向同频率两谐振动的合成A=[A12+A22+2A1A2cos(2010)]1/2tg0=(A1sin10+A2sin20)/(A1cos10+A2cos20)(再结合另一三角函数定出0)拍1拍频ν=ν2ν1(2)相互垂直振动的合成1与2成简单整数比时成李萨如图形1=2时为椭圆方程：x2/A12+y2/A222(x/A1)(y/A2)cos(2010)=sin2(2010)二.波动1.机械波的产生必须有波源及媒质，机械波的传播实质是相位(或振动状态)的传播；2.描述波的物理量：波长，频率ν，周期T，波速u其关系为T=1/ν=/uu=/T=ν3.平面简谐波的波动方程y=Acos(tx/u+0)=Acos[2(t/Tx/)+0]=Acos[(2/)(xut)0]；4.平均能量密度w=A22/2，能流密度(波的强度)I=wu=A22u/25.惠更斯原理(略)；6.波的叠加原理：独立性，叠加性；7.波的干涉(1)相干条件：频率相同，振动方向相同，位相差恒定。(2)相干加强与减弱的条件：加强=2k减弱=(2k+1)其中=20102(r2r1)/(3)驻波：波幅处振幅最大，波节处振幅最小，相邻波节(或波幅)之间的距离为/2；8.半波损失：波从波疏媒质(u较小)向波密媒质(u较大)传播，在界面上反射时，反射波中产生半波损失，其实质是位相突变；9.多普勒效应：只考虑波源和观察者在同一直线上运动时的频率变化公式波源运动等效波长改变νR=νSu/(u-vS)观察者运动相当于波速变化νR=νS(u+vR)/u(相互接近vRvS取正)2贰练习十六至练习二十一答案及简短解答练习十六谐振动一.选择题CADBB二.填空题1.4/3,4.5cm/s2,x=2cos(3t/2－/2).1.0.2rad/s,0.02sin(0.2t+0.5)(SI),0.02rad/s.3.BC,B,+/4.三.计算题1.(1)v=dx/dt=－3.0sin(5t－/2)(SI)所以v0=3.0m/s(2)F=ma=－m2Acos(5t－/2)=－m2x当x=A/2时F=－1.5N2．弹簧振子的圆频率=[k/(M+m)]1/2子弹射入木块时动量守恒，有mv0=(M+m)vv=mv0/(M+m)即[dx/dt]x=0=Asin0=mv0/(M+m)知sin0＞0即0在一、二象限.因t=0时x0=Acos0=0得0=±/2所以A=[mv0/(M+m)]/=mv0/[k(M+m)]1/20=/2故系统的振动方程x={mv0/[k(M+m)]1/2}cos{[k/(M+m)]1/2t+/2}练习十七谐振动能量谐振动合成一.选择题BECDC二.填空题1.x2=0.02cos(4t－2/3)(SI).2.22mA2/T2.3.5.5Hz，1.三.计算题1.(1)平衡时,重力矩与弹力矩等值反向,设此时弹簧伸长为x0,有mgl/2－kx0l=mgl/2－kx0l/3=0设某时刻杆转过角度为,因角度小,弹簧再伸长近似为l=l/3,杆受弹力矩为Mk=－lFk=－(l/3)[(x0+l/3)k]=－k(x0l/3+l2/3)合力矩为MG+Mk=mgl/2－k(x0l/3+l2/3)=－kl2/3依转动定律,有－kl2/3=J=(ml2/3)d2/dt2d2/dt2+(k/m)=0即杆作简谐振动.(2)=mkT=2km(3)t=0时,=0,d/dtt=0=0,得振幅A=0,初位相0=0,故杆的振动表达式为=0cos(mkt)2.因A1=4×10－2m,A2=3×10－2m20=/4,10=/2,有A=[A12+A22+2A1A2cos(20-10)]1/2=6.4810－2mtg0=(A1sin10+A2sin20)/(A1cos10+A2cos20)=2.0610=64.11○0=244.11○因x0=Acos0=x10+x20=A1cos10+A2cos20=5.8310－2m00在I、IV象限,故0=64.11○=1.12rad所以合振动方程为x=6.4810-2cos(2t+1.12)(SI)。练习十八阻尼受迫共振波动方程一.选择题CCBAD二.填空题31.3，3002.0,3cm/s.3.振动系统的固有频率,策动力的频率.三.计算题1．(1)若取x轴方向向左，A为坐标原点，则波动方程为y=3cos[4(t+x/c)]=3cos(4t+x/5)(SI)D(x=9m)点的振动方程为y0=3cos[4t+(9)/5]=3cos(4t14/5)(SI)(2)若取x轴方向向右，A点左方5m处的O点为x轴原点，有A点坐标为x0=5m，D点坐标为x=14m.则波动方程为y=3cos{4[t(x5)/c]}=3cos(4tx/5)(SI)D点的振动方程yD=3cos(4t∙14/5)=3cos(4t14/5)(SI)2.(1)y=Acos2(t/T－x/)=0.1cos2(2t－x/10)(SI)(2)y1=0.1cos2[(T/4)/T－(/4)/]=0.1m(3)u=y/t=－0.4sin2(2t－x/10)=－0.4sin2[(T/2)/T－(/4)/]=－0.4=－1.26m/s练习十九波的能量波的干涉一.选择题BADBC二.填空题1.Sw/2.2.5J.3.0.三.计算题1.(1)P=W/t=2.7010－3J/s(2)I=P/S=910－2J/(sm2)(3)w=I/u=2.6510-4J/m2.2.Ap={(A/r1)2+(A/r2)2++2(A/r1)(A/r2)cos[/2+2(r2r1)/]}1/2=2A/(5)tan0=[(A/r1)sin(2r1/+/2)+(A/r2)sin(2r2/+)]÷[(A/r1)cos(2r1/+/2)+(A/r2)cos(2r2/+)]=1y0=Acos0=A/r1cos(2r1/+/2)+(A/r2)cos(2r2/+)=A/(5)0所以0=3/4故y=[2A/(5)]cos(2νt+3/4).练习二十驻波多普勒效应一.选择题ABACD二.填空题1.100k±50m(k为整数).2.Acos[2(t/T+x/)+(+4L/)].3.802Hz.三.计算题1．(1)另一列横波的波方程为y2=0.05cos[2(t/0.05+x/4)](SI)(2)绳索上的驻波方程为y=y1+y2=0.10cos(x/2)cos40t(SI)波节坐标x满足x/2==k+/2即x=2k+1(k=0,1,2,)离原点最近的四个波节点的坐标为x=1m,3m2.y=y1+y2=Acos2(νt-x/)+2Acos(2νt+x/)=2Acos2x/cos2νt+Acos(2νt+x/)最大振幅Amax=3A坐标x满足2x/=kx=k/2（k=0,1,2,）最小振幅Amin=A坐标x满足2x/=k+/2x=(2k+1)/4（k=0,1,2,）.4练习二十一振动和波习题课一.选择题BDAAC二.填空题1.相同，相同，2/3.2./4，x=0.02cos(t+/4)(SI).3.3/4，2(l/g)1/2.三.计算题1.平衡时mg=kx0振动时，设某时刻物体相对平衡位置的位移为x，对物体和定滑轮分别列方程，有mg-T=maTR-k(x+x0)R=Ja=Rx=R于是得mgRk(x+x0)R=(mR2+J)kxR=kR2=(mR2+J)=(mR2+J)d2/dt2d2/dt2+[kR2/(J+mR2)]=0故物体作揩振动，其角频率为=[kR2/(J+mR2)]1/22.(1)波速u=(张力/线密度)1/2=(T/)1/2=60m/s波长=u/ν=1.2m因形成驻波,故行波振幅为A=41022=2102m由旋矢法(如图)可知O点振动的初位相为/2，则入射波在原点O引起的振动为y0=2102cos(100t+/2)(SI)所以入射波为y1=2102cos[100(tx/60)+/2]=2102cos(100t-10x/6+/2)(SI),反射波为y2=2102cos[100t10(2lx)/6+/2+]=2102cos(100t+10x/6+/2)(SI)驻波方程为y=y1+y2=4102cos(10x/6)cos(100t+/2)(SI)叁振动和波测试题一.选择题1.图.1中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x,速度v,加速度a,下面哪个说法是正确的？(A)曲线3,1,2分别表示x,v,a曲线.(B)曲线2,1,3分别表示x,v,a曲线.(C)曲线1,3,2分别表示x,v,a曲线.(D)曲线2,3,1分别表示x,v,a曲线.(E)曲线1,2,3分别表示x,v,a曲线.2.用余弦函数描述一简谐振子的振动,若其速度－时间(v－t)关系曲线如图2所示,则振动的初相位为(A)/6.(B)/3.(C)/2.(D)2/3.tx,v,aO321图1v(m/s)t(s)－vm－vm/2O图2y/2AO5(A)5/6.3.一质点作简谐振动,周期为T,质点由平衡位置向x轴正方向运动时,由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为(A)T/4.(B)T/12.(C)T/6.(D)T/8.4.一平面简谐波在弹性媒质中传播,在媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中(A)它的势能转换成动能.(B)它的动能转换成势能.(C)它从相邻的一段媒质质元获得能量,其能量逐渐增加.(D)它把自己的能量传给相邻的一段媒质质元,其能量逐渐减小.5.在弦上有一简谐波,其表达式是y1=2.0×102cos[2(t/0.02－x/20)+/3](SI)为了在此弦线上形成驻波,并且在x=0处为一波节,此弦线上还应有一简谐波,其表达式为:(A)y2=2.0×102cos[2(t/0.02+x/20)+/3](SI)(B)y2=2.0×102cos[2(t/0.02+x/20)+2/3](SI)(C)y2=2.0×102cos[2(t/0.02+x/20)+4/3](SI)(D)y2=2.0×102cos[2(t/0.02+x/20)－/3](SI)6.一质点作简谐振动,振动方程为x=cos(t＋),当时间t=T2(T为周期)时,质点的速度为(A)Asin.(A)Asin.(B)Acos.(D)Acos.7.用余弦函数描述一简谐振动,已知振幅为A,周期为T,初位相=－/3,则振动曲线为图3中哪一图？8.如图4所示为一平面简谐机械波在t时刻的波形曲线.若此时A点处媒质质元