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1.概述（1）有限元的概念将结构物看成由有限个划分的单元组成的整体，以单元结点上的值作为整个单元的平均值。它是一种化整为零、集零为整、化未知为已知的方法。（2）有限元的产生及发展产生：在寻找近似解法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限单元法（FiniteElementMethod)。有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直接得益于土木结构分析中的矩阵位移法和在飞机结构分析中所获得的成果。由于该类控制方程的求解难以使用已有的解析法，人们转而寻求另一种方法，称为数值方法。该类方法的特点是：进行大量的数值运算，逐步逼近精确解，最终得到能够令人满意的近似解。有限元就是数值解法之一。发展：1)20世纪40年代，麦克亨利（McHenry）、雷尼柯夫（Hrenikoff）、纽马克（Newmark）等首次提出用框架方法求解力学问题，用简单弹性杆排列代替连续体的各个小部分，能够得到连续问题的相当好的解答。2)1943年，柯兰特（Courant）第一次假设挠曲函数在一个划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单线性函数。3)1955年，德国斯图加特大学的J.H.Argyris教授发表了一组能量原理与矩阵分析的论文，奠定了有限元方法的理论基础。4)1956年，特纳（Turner）、克拉夫（Clough）等将刚架分析中的位移法扩展到弹性力学平面问题，并用于飞机的结构分析和设计，系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式，并求得了平面应力问题的正确解答。5)1960年，克拉夫（Clough）在分析弹性力学问题时，第一次提出并使用“有限元方法”的名称。6)1972年，Oden出版了第一本处理非线性连续体的专著7)我国科技工作者：如胡昌海提出了广义变分原理，钱伟长最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间的关系，冯康研究了有限元方法的精度和收敛性问题，等等。从数学角度看，有限元的基本思想是1943年产生的，但由于当时计算条件限制，这种方法并没有得到足够重视和发展。从应用角度看，有限元则是在电子计算机出现和发展后开始的。有限元的第一个成功应用是克拉夫(clough)等人在分析飞机结构时完成的。1960年克拉夫在“平面应力分析的有限元法”一文中正式使用了“有限元法”这一名称。此后，有限元法及应用得到了迅速发展。从理论上看，有限元是处理连续介质问题的一种普遍方法，其基本理论基础是：基于变分原理的里兹（Ritz）法。从实践上看，有限元法已广泛应用于许多学科。最初应用在连续体结构力学分析中，后来已广泛应用于求解流体力学、热传导、电磁场等多个领域。由于其应用的广泛性，并且计算机技术的迅速发展，已经产生了许多商品化的有限元软件。这些软件使得一般的工程技术人员可以轻而易举地利用有限元方法解决工程计算问题。目前已有几百种有限元软件。（3）控制方程的概念求在给定边界条件下某些微分方程的解，这样的微分方程称为控制方程。（4）有限元的分析过程、步骤，每个步骤的主要内容、相关术语等1、结构的离散将待分析的结构从几何上用线或面划分为有限个单元，其中单元的大小和数目根据计算精度的要求和计算机容量来决定。其步骤：●建立单元●对单元和结点编号●准备必需的数据信息●建立坐标系2、确定单元的位移模式将单元中任意一点的位移近似地表示成单元结点位移的函数，即位移模式或位移函数，用或表示，写成：d=Nδe这里：d—单元中任意一点的位移矩阵，N—形函数矩阵δe—单元结点位移矩阵。位移函数的假设合理与否，直接影响到分析的计算精度、效率、可靠性。3、单元特性分析（1）几何方程：应变与位移之间的关系ε=Bδe这里：ε—单元中任意一点的应变矩阵B—变形矩阵或应变矩阵（2）物理方程：应力与应变之间的关系（Hooke定律）σ=DBδe=Sδe这里：σ—单元中任意一点的应力矩阵D—弹性矩阵，由单元材料的弹性常数确定(弹性模量)S—应力矩阵。（3）利用虚位移原理或最小势能原理建立单元刚度方程：Keδe=Fe+FeE这里：Fe—单元结点力矩阵FeE—单元等效荷载矩阵Ke—单元刚度矩阵，4、建立表示整个结构结点平衡的方程组KΔ=Pd+Pe=P这里：K－整体刚度矩阵Δ－整体结点位移矩阵P－直接结点荷载Pe－等效结点荷载Pd－整体综合结点荷载矩阵几个问题说明1、单元划分：单元划分是建立有限元计算模型的重要步骤之一，它决定了有限元计算的有效性、精度和计算工作量。单元的分类：一维：如上例的杆单元，以线段表示，两个结点二维：平面上的多边形，常见有三角形、四边形三维：空间多面体。单元选择原则：1）根据求解问题的受力情况2）根据求解问题的区域的形状3）单元的密度：在单元类型确定后，单元密度决定了求解精度和速度。一般单元划分越密，则计算精度越高。但计算量越大。因此，其密度决定原则为：•场变量变化平缓的部分密度低•场变量变化剧烈的部分密度高，比如零件应力集中部位，则密度要高。2、总刚度矩阵的特性有限元方程组KΦ=F中，总刚度矩阵K为方程组系数矩阵，取决于单元特性，引例中为：这说明K11就是使结点1处发生单位位移所需要的外力。因此，K具有下列特性：1）对称性：即kij=kji。总刚度矩阵是对称的。2）稀疏性：显然，kij仅在i、j在同一单元时不为零，否则为零。故K中有大量元素为零。3）奇异性：考察具体示例时可知，K矩阵总是奇异的。总刚度矩阵的特性对利用计算机求解问题是重要的。比如可以减少存储量、减少计算工作量等，以提高求解速度。（5）单元刚度矩阵元素的含义、单元刚度矩阵的特性总刚度矩阵的特性有限元方程组KΦ=F中，总刚度矩阵K为方程组系数矩阵，取决于单元特性，引例中为：11111111321131321211132132133323123222113121101FLEAkFkFkkkFFFkkkkkkkkk也就是，则有，令可知11111111321131321211132132133323123222113121101FLEAkFkFkkkFFFkkkkkkkkk也就是，则有，令可知这说明K11就是使结点1处发生单位位移所需要的外力。因此，K具有下列特性：1）对称性：即kij=kji。总刚度矩阵是对称的。2）稀疏性：显然，kij仅在i、j在同一单元时不为零，否则为零。故K中有大量元素为零。3）奇异性：考察具体示例时可知，K矩阵总是奇异的。总刚度矩阵的特性对利用计算机求解问题是重要的。比如可以减少存储量、减少计算工作量等，以提高求解速度。（6）有限元的应用领域•有限元法作为一种有效的场变量分析数值方法，随着计算机性能的提高和普及，已经被广泛应用于多个工程领域：包括机械、建筑、矿山、冶金、材料、化工、交通、能源等相关学科设计研究中。由于其应用的广泛性及有效性，目前已经有大量有限元分析通用软件。许多软件具备了很强的功能，包括完善的前、后处理功能。在工程实践中，大量采用这些通用分析软件来完成分析任务。2.弹性力学基础知识（1）材料力学与弹性力学的区别、联系1、研究的内容：基本上没有区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件3、研究的方法：有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。因此，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：(1)物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2)物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3)物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和泊松系数)才不随位置座标而变。(4)物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。(5)物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。（2）基本概念：应力、应变、几何方程、刚体位移弹性体受外力以后，其内部将产生了应力，弹性体内某一点作用于某个界面单位面积上的内力称为应力，它反映了内力在截面上的分布密度。应变：一类是长度的变化，一类是角度的变化。任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)，用符号来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号来表示。两坐标轴之间的角应变，则加上相应的角码，分别用来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的引起正的，等等)。几何方程对于几何方才:棱边长度伸长——正应变为正，微分线段夹角缩小——角应变为正刚体位移：物体内部各点位置变化，但但仍保持初始状态相对位置不变。（3）应力与应变的关系、物理方程应力分量与应变分量之间的关系---虎克定律当沿X轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在X方向的单位伸长则可表以方程xyz、、xyyzzx、、xyxy(2-3-1)xyzxyyzzxuvwxyzuvvwwuyxzyxz，，，，式中E为弹性模量。弹性体在X方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和Z方向的单位缩短可表示为：式中为泊松系数。方程(2-5)和(2-6)既可用于简单拉伸，也可用于简单压缩，且在弹性极限之内，两种情况下的弹性模量和波桑系数相同。设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用(2-5)和(2-6)式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数E及所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。如果弹性体的各面有剪应力作用，如图所示，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：式中G称为剪切模量，它与弹性模量E，泊松系数存在如下的关系：方程