振动理论贰.

优势:比三角函数形式更为方便;与振动的频域分析方法密切关联.kmtFcos0)(txc当系统受余弦激励作用时,当系统受正弦扰激励作用时,tFkxxcxmcos0111tFkxxcxmsin0222对上式两端乘以1j,再与第3.4.1式相加,得(3.4.1)(3.4.2))sin(cos)()()(0212121tjtFjxxkxjxcxjxm引入复变量21jxxxc,再利用欧拉公式,上方程可写为tjccceFkxxcxm0同样，由于存在阻尼，我们只考虑(定常)稳态响应。3.4定常强迫振动的复数解法与频率响应函数(3.4.5)单自由度系统的定常强迫振动tjtetjsincos单自由度系统的定常强迫振动tjceXxtje设其稳态特解是代入原方程，消去后，求出是复数，称为复数振幅,写成复数形式有X)(tjtjjceXeeXx得原方程复指数解tjctjceXxeXjx2jcmkFX20jeXjcmkF202220)()(cmkFX上述复数形式的计算要简便得多。既含有振幅，也含有相位。如果引入无量刚化定义nkmC,2对比复数解的模和相位,可见它们是与上一节中由三角函数解法得到的振幅和相位完全一样的表达式(见书3.3.6b式)。另外只要将复数解的实部和虚部分离，则可以同时得到系统分别受余弦激励力和正弦激励力作用的解。2arctanmkc描述振动系统频率特性的一个重要技术术语：定义：频响函数≡(复谐和响应)／(复谐和激励)如:考虑的是位移响应，则上式是(位移／外力)，位移频响函数具有“柔度”的意义，称为动柔度，又可叫做位移导纳。tjccceFkxxcxm0tjceXx可得到jcmkFX20jcmkHd21)(位移频响函数通常用记号Hd(ω)代表。由运动方程式：令按定义，xc/F是位移频响函数单自由度系统的定常强迫振动频率响应函数简称频响函数单自由度系统的定常强迫振动jcmkjHv2)(jjcmkZv2)(jcmkHa22)(22)(jcmkZa如果考虑的是速度响应，则有速度阻抗如果考虑的是加速度响应，则有加速度阻抗加速度频响/导纳速度频响/导纳而Hd(ω)的倒数Zd(ω)＝(k-mω2+jcω)，称为动刚度。Zd又称为位移阻抗。tjcejcmkFjx20tjcejcmkFx202tjcejcmkFx203.5周期激励下的定常强迫振动外加激振力是时间的周期函数f(t±nT)=f(t)，T为外扰力的周期。谐和激励是周期激励的一种特殊形式.单自由度系统的定常强迫振动按照傅里叶级数概念，周期性外扰力可以分解成一定频率成份简谐激励的线性组合。对应每一项简谐激励，可以用前面的公式，计算出它的响应量，把这些响应量叠加起来，就得到了单自由度系统对该周期激励的响应。若假设外激励力为f(t),则系统的振动微分方程的一般形式为)(tfkxxcxm设外f(t)的周期为T,则T2傅里叶级数：称为基(本)频(率)。)sincos(2)(10tnbtnaatfnnn2/2/0)(2TTdttfTa2/2/cos)(2TTntdtntfTa2/2/sin)(2TTntdtntfTb对应于基频的谐和分量称为基频分量，其余为高(次)谐(波)分量。单自由度系统的定常强迫振动单自由度系统对f(t)的响应)sin()2()1()cos()2()1(2)(22221222210nnnnnntnnnkbtnnnkakatxn2212arctannnn周期激励的响应分析现以例子来说明其响应分析02,20,)(tTATtAtf,6,4,2,0,5,3,1,4nnnAbn矩形波由于f(t)为奇函数，故有于是，f(t)的傅里叶展式为首先要求出激励f(t)的傅里叶展开式单自由度系统的定常强迫振动-AAT/2f(t)t-T/2图3.5.10,00naa2/002/2/2/sin2sin2sin)(2TTTTntdtnATtdtnATtdtntfTb)cos(2)cos(22/002/TTtnnATtnnAT)cos1(2)cos1(22nnAnnATtTnnAtfn2sin14)(5,3,1T2将周期激励f(t)的各频率成份与它们的对应激励幅值画成图3.5.2，它称为激励f(t)的(离散)频谱，或线谱。bnA4753对线性系统，按傅里叶展开式，求出各阶谐和分量激励的谐和响应。将这些响应求和(叠加)，就是该周期力激励下的强迫响应。单自由度系统的定常强迫振动图3.5.2激励频谱假设有一无阻尼质量－弹簧系统，受周期矩形波激励，扰力基频。tnnAtfnsin14)(5,3,1外激励f(t)的傅里叶展式为系统的定常强迫振动为5,3,12sin61114)(ntnnnkAtx取无量纲幅值Bn2611nnBnBn75311.030.440.650.400.08图3.5.3响应频谱单自由度系统的定常强迫振动bnA4启示：只有低次谐波分量和激励频率接近于系统固有频率的那些谐波分量对系统的稳态响应有较大贡献;当激励具有离散频谱时,系统的稳态响应也具有离散频谱,这是线性系统的频域固有属性。6/n6n飞行器机体振动激起的内部设备振动;飞机滑跑时跑道不平引起的飞机振动等等，都可以看成是由于系统的基础（支撑点）运动产生的激励而引起的振动。3.6测振原理3.6.1基础激励响应单自由度系统的定常强迫振动m)(txkctYycoso如图所示基础激励振动系统：基础激励)()(yxcyxkxm整理后得到：yckykxxcxm利用复数解法：tjYey)(tjtjjXeeXex单自由度系统的定常强迫振动两端求模：YjckXejckmj)()(2可得：jckmjckYXej)(222222222222)2()1()2(1)(YcmkckYXkcmkcarctanarctan2)cos()(tXtxtYycos单自由度系统的定常强迫振动sradmkn3.285001045106.02nmc解：系统的固有频率和阻尼比分别为单自由度系统的定常强迫振动vt)8.0sin(01.0)(vtty该机车以恒定的水平速度运行，那么因此机车轮随时间变化的垂直位移为运用基础激励稳态响应振幅公式)(487.6)2()1()2(12222meYX62.43.288.0vn则机车的加速度振幅为:)/(7.11487.6)7.130(222smeXa3.6.2惯性式传感器测振原理0)()(yxkyxcxm惯性式传感器原理图，传感器的输入为被测物体的振动,传感器的输出为质量块m的相对位移。作为传感器，要求输出量和输入量之间存在线性关系。质量块运动方程式:令z=x-y,即质量块m相对被测量物体(基础)的相对位移，将x=z+y代入上式：0)(kzzcyzmtjYeytjZezYmkZZjcZm22假定，代入得：图1惯性式测振仪的原理图ymkzzczm相对坐标与y方程yxkmc被测物体选择传感器的静平衡位置为坐标原点，建方程时可不考虑常力的作用。则单自由度系统的定常强迫振动tYycos绘出及的曲线族(取不同阻尼率ζ)，即相对位移放大率和相位角变化曲线。)(22kjcmYmZjeZ22222222)2()1()()(YcmkYmZ,2212tanmkc式中于是将上式可写成不难确定~YZ~2222222)/2()1/1(1)2()1(YZmk单自由度系统的定常强迫振动|Z|/Y1.0123452.03.00.0位移计频率比γζ=0ζ=0.25ζ=0.5ζ=0.7ζ=1.01.03.05.0090180相角频率比γ位移计：3Ω1YZ即“滚筒”上记录下来的相对位移Z和被测物体的位移Y很接近,而相位相差(滞后)接近π。即：tjtjYeYez)(位移计就是按这个原理设计工作的，它要求阻尼要小,弹簧刚度k小，而质量块m较大，从而位移计有较低的固有频率。适合测量大质量对象的振动位移测试。单自由度系统的定常强迫振动123频率比γ4321000.10.150.20.70.30.51.02.0tjYey令tjYey2则2222)2()1(11||||ΩyZ加速度计：2222)2()1(YZ222/ΩYYZ如果测振仪设计得具有较高的固有频率，使这时，记录下来的1/Ω2/1Ω即与Yω2成比例，比例常数是是和被测试物体的加速度幅值成比。可见这种测振仪记录下来的Z这种具有较高固有频率(弹簧刚度大，质量块很小)的测振仪就叫做“加速度计”，它要求被测频率低于传感器的自身固有频率。在测振仪上，它的使用范围有一个标明的频率上限。这种传感器的附加质量小，得到广泛应用。单自由度系统的定常强迫振动tjeZy2则由于读数与被测加速度的比值是常数，该常数也就是该加速度计的测试灵敏度。由此可见，加速度计的固有频率Ω也不能设计得过高，否则它的灵敏度就太低。)/1(2Ω由为了扩大测量范围，要求1)2()1(222即12)2(21222122707.021启示:(1)为增加可测频率范围，可提高加速度计的固有频率,加速度计体积小,附加质量轻；而位移计则要尽量降低其固有频率，则体积相对大。22222)2()1(/1ΩYZY2Z(2)增加加速度计的固有频率会降低传感器的灵敏度。0.10.20.30.40.50.60.70.80.0ζ=0ζ=0.6ζ=0.65ζ=0.7ζ=0.75频率比γ放大率β0.981.00.961.021.04(3)设计阻尼率等于0.7,可以增加加速度计的频率范围。单自由度系统的定常强迫振动压电加速计是利用压电晶体的正压电效应实现机电转换的加速度传感器。引申：压电加速计压电晶体在传感器中扮演支撑弹簧的作用。压电晶体承受到的压力与感应电荷成正比，而压力又与弹簧的相对位移成正比，从而感应电荷与相对位移也成正比。单自由度系统的定常强迫振动通常加速度计的灵敏度越高，加速度计越重，从而固有频率较低，限制了使用频率范围。单自由度系统的定常强迫振动运动隔振：防止外界振动对设备的影响，如对精密设备、测振仪器等（也称为隔幅）。力隔振：减少振动系统对周围环境的影响，（也称为隔力）。3.7隔振原理单自由度系统的定常强迫振动如图隔振系统简化模型：基础运动的隔振)()(yxcyxkxm整理后得到：yckykxxcxm一、运动隔振：利用复数解法：tjYeytjjeXexm)(txkctYycoso单自由度系统的定常强迫振动两端求模：YjckXejckmj)()(2称为位移传递率，记为T可得：jckmjckYXej)(222222222222)2()1()2(1)(