排列组合中的分组分配问题abcdacbdadbccdbdbcadacab1把abcd分成平均两组abcdacbdadbc有_____多少种分法?C42C22A223cdbdbcadacab这两个在分组时只能算一个记住:平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要除以m!,其中m表示组数。引旧育新1.(平均分组公式)一般地平均分成n堆(组),必须除以n!,如若部分平均分成m堆(组),必须再除以m!,即平均分组问题,一般地来说,km个不同的元素分成k组,每组m个,则不同的分法有故平均分配要除以分组数的全排列.kkmmmmkmkmACCC)1(种.引伸:不平均分配问题:一般来说,把n个不同元素分成k组,每组分别有,,21mmkmm3个,则不同分法为312112()kkmmmmnnmnmmmCCCC种.kmmm21,,21nmmmk互不相等,且且2.(不平均分组公式)kmmm21,如果中有且仅有i个相等,则不同的分法为:312112()kkmmmmnnmnmmmiiCCCCA种.一:均分无分配对象的问题例1:12本不同的书(1)按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法?(2)按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法?C102C82A33C122C66(2)C84C44A33C12412!4!·8!8!4!·4!13!(1)5775基础探究C62C42A33C126C22或•练习:把10人平均分成两组,再从每组中选出正、副组长各一人,共有多少种选法?解:分两步,先分组,再分别在每一组中选正、副组长.5522105552250400CCAAA由分步计数原理共有种.25A每组中选正、副组长都有种方法.5510522CCA种方法,分组有二:均分有分配对象的问题例2:6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个人,有多少种不同的分法?方法:先分再排法。分成的组数看成元素的个数·(1)均分的三组看成是三个元素在三个位置上作排列(1)C42C22A33C62A33C42C22C62三:部分均分无分配对象的问题例4六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有多少种分法C64C21C11A22三:部分均分有分配对象的问题例312支笔按3:3:2:2:2分给A、B、C、D、E五个人有多少种不同的分法?方法:先分再排法。分成的组数看成元素的个数·(2)均分的五组看成是五个元素在五个位置上作排列C93C62A33C123C42(2)A22C22A55四.非均分组无分配对象问题例56本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种不同的分法?注意:非均分问题无分配对象只要按比例分完再用乘法原理作积C61C52C33例6六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法?五.非均分组分配对象确定问题C61C52C33五非均分组分配对象不固定问题例7六本不同的书分给甲、乙、丙3人,1人1本,1人2本,1人3本有多少种分法?C61C52C33A33练习11:12本不同的书平均分成四组有多少种不同分法?44333639312ACCCC练习22:10本不同的书(1)按2∶2∶2∶4分成四堆有多少种不同的分法?(2)按2∶2∶2∶4分给甲、乙、丙、丁四个人有多少种不同的分法?44262821033442628210CCCC2ACCCC(1))(3有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学,按下条件,各有多少种不同的分法?(1)每人各得两本;(2)甲得一本,乙得两本,丙得三本;(3)一人一本,一人两本,一人三本;(4)甲得四本,乙得一本,丙得一本;(5)一人四本,另两人各一本·(3)(4)(5)C52C33C61A33C52C33C61C21C11C64A31C21C11C64(2)C42C22C62(1)4、12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件,各有多少种不同的分法?(1)一人三本,一人四本,一人五本;(2)甲三本,乙四本,丙五本;(3)甲两本,乙、丙各五本;(4)一人两本,另两人各五本·C94C55C123(1)(2)(3)(4)A33C94C55C123C105C55C122A31C105C55C122•练习:9件不同的玩具,按下列分配方案各有几种分法?•①甲得2件,乙得3件,丙得4件,有多少种分法?•②一人得2件,一人得3件,一人得4件,有多少种分法?•③每人3件,有多少种分法?•④平均分成三堆,有多少种分法?•⑤分为2、2、2、3四堆,有多少种分法?解:①以人为主考虑,三个人去取玩具,据分步计数原理求解.•练习:9件不同的玩具,按下列分配方案各有几种分法?•①甲得2件,乙得3件,丙得4件,有多少种分法?由分步计数原理得1260443729CCC种.29C第1步先由甲从9件不同的玩具中选2件有种.37C第2步由乙从剩下的7件中选3件有种.44C第3步余下4件全给丙有种.•练习:9件不同的玩具,按下列分配方案各有几种分法?•②一人得2件,一人得3件,一人得4件,有多少种分法?•③每人3件,有多少种分法?③每人3件,即各人分得数相同,不需排列.则有33339633331680CCCAA种.756033443729ACCC故由分步计数原理有种.解:②三个人中哪个得2件、哪个得3件、哪个得4件没有确定,故这三个数字可以在甲、乙、丙中进行排列,故应在第1问的前提下再进行一步排列,有33A种.•练习:9件不同的玩具,按下列分配方案各有几种分法?•④平均分成三堆,有多少种分法?•⑤分为2、2、2、3四堆,有多少种分法?解:④设分三堆有x种方法,因堆与堆之间没有差异,而人却有差异,在第③问中,先分三堆再三人去拿.故有39C33222426ACCC32229642331260CCCCA⑤先分3件为一堆有种方法,然后6件平均分配应有种方法,故共有种.2801680363933xCCAx种.例4:有12名划船运动员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛,有多少种不同的选法?分析:设集合A={只会划左舷的3个人},B={只会划右舷的4个人},C={既会划左舷又会划右舷的5个人}先分类,以集合A为基准,划左舷的3个人中,有以下几类情况:①A中有3人;②A中有2人;C中有1人;③A中有1人,C中有2人;④C中有3人。第①类,划左舷的人已选定,划右舷的人可以在B,C中选3人,有种,以下类同39C3321312303339358357356CCCCCCCCCCC2174三.多面手问题