期末复习关于对称性简化重积分的计算问题

利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来简化重积分的计算是十分有效的。要注意的是：在运用对称性时必须兼顾被积函数与积分域两个方面。性质有：1.如果D关于y轴对称，则有DDyxfyxfdyxfyxfyxfyxf1),(),(),(2),(),(0),(当当0,),(|),(1xDyxyxD2.如果D关于x轴对称，则有DDyxfyxfdyxfyxfyxfyxf2),(),(),(2),(),(0),(当当0,),(|),(2yDyxyxD3.如果D关于x轴和y轴均对称，则有10(,)(,)(,)(,)(,)4(,)(,)(,)(,)DDfxyfxyfxyfxyfxyfxydfxyfxyfxy当或当1(,)|(,),0,0DxyxyDxy三重积分对称性的性质类似，请同学们自行查询教材。例1.计算I=Dxdxdy其中D是以原点为圆心，以a为半径的上半圆。解：∵D关于y轴对称，()fxx是关于x的偶函数∴I=2213002223aaxDDxdxdyxdxdydxxdya或I=120022cosaDDxdxdyxdxdydrrdr333220001222cos|sin|333ardaa思考：若I=Dxdxdy，D同上，则I的值等于多少？能否使用对称性？例2.计算I=2222(232)xyaxxydxdy解：由二重积分的性质，则I=2232DDDDxdxdyxdxdyydxdydxdy∵积分域为圆域222xya，关于x轴，y轴及坐标原点均对称∴22222340011()224aDDDxdxdyydxdyxydxdydrdra又2x,3y分别为x和y的奇函数，故20Dxdxdy，30Dydxdy而222Ddxdya因此I=2222(232)xyaxxydxdy=4224aa例3．计算zedv，其中是球体2221xyz。解：∵被积函数ze是z的偶函数，积分区域关于xoy面对称∴12zzedvedv由已知可得1：2221xyz且0z用“截面法”计算0,1z，过z作垂直于z轴的平面与1相截得zD：22221xyz111200222(1)2zzzzzDedvedvedzdxdyezdz例4.计算222222ln(1)1zxyzdvxyz，其中是球体2221xyz。解：∵被积函数222222ln(1)1zxyzxyz是z的奇函数，积分区域关于xoy面对称∴222222ln(1)01zxyzdvxyz例5.计算()xzdv，其中是锥面22zxy和球面221zxy所围成立体区域。解：∵()xzdvxdvzdv被积函数x是x的奇函数，积分区域关于xoy面对称。则0xdv用“截面法”计算zdv220,,122z，当20,2z时，过z作垂直于z轴的平面与相截得1zD：222xyz当2,12z时，过z作垂直于z轴的平面与相截得2zD：22221xyz∴1222212222220002(1)8zzDDzdvzdzdxdyzdzdxdyzzdzzzdz故()8xzdvxdvzdv