西南交通大学：理论力学 (10)

12引言一.研究对象：二.力学模型：研究物体的机械运动与作用力之间的关系2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。例如：研究卫星的轨道时，卫星质点；刚体作平动时,刚体质点。自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。3三.动力学分类:质点动力学质点系动力学质点动力学是质点系动力学的基础。四.动力学的基本问题：大体上可分为两类：第一类：已知物体的运动情况，求作用力；第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。45§10–1动力学的基本定律§10–2质点的运动微分方程第十章质点动力学的基本方程6§10-1动力学的基本方程质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统的基础，质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的关系，质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成果基础上提出的，称为牛顿三定律第一定律（惯性定律）不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点），不是处于静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变，这种性质称为惯性。7式（10-2）是该定律的数学表达式，为质点动力学的基本方程，建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。当质点受到多个力作用时，该式中的力F应为汇交力学的合力；从该式还可以看出，质点质量越大，起运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大，因此，质量是质点惯性的度量；另外应注意公式中国际单位制（SI）的表示以及国际单位制和工程单位制的换算关系。第二定律（力与加速度之间的关系的定律）定律表示：经典表示：Fv)(ddmtFam（10-1）（10-2）8第三定律（作用与反作用定律）表述：两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。上述三个定律适用的参考系称为惯性参考系。今后，如无特别说明，我们取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系；以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学，在此范畴，质量、空间和时间是“绝对”的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当物体的运动速度远小于光速时，物体的运动对质量、时间和空间的影响是微不足道的。9将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。)(Fam§10-2质点的运动微分方程质点受到n个力F1，F2，Fn时，由质点动力学第二定律，有dd122nitmFrniim1Fa（10-3）或（10-3）式（10-3）是矢量形式的微分方程，在计算实际问题时，需应用它的投影形式1.质点运动微分方程在直角坐标轴上投影设矢径r在直角坐标轴上的投影分别为x,y,z,力Fi在轴上的投影分别Fxi,Fxi,Fxi,则式（10-3）在直角坐标轴上的投影形式为niziniyinixiFtymFtymFtxm122122122dd,dd,dd（10-4）10式(10-4)和(10-5)是两种常用的质点运动微分方程。式(10-3)为一矢量等式,可向任一轴投影应用质点运动微分方程，可以求解下面表述的质点动力学的两类问题:2.质点运动微分方程在自然轴上投影由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为niiniiniiFFvmFtvm1b1n21t220,,dd（10-5）0,bntaaana为）在自然轴系上的投影式（所示，的单位矢量，如图为沿轨迹切线和主法线和式中310110n111.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）解题步骤和要点：①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。⑤求解未知量。如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量。积分dtdv再分离变量积分。,dsdvvdtdv如力是位置的函数，需进行变量置换积分tddv2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）解题步骤如下：①正确选择研究对象。②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。③正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件）。④选择并列出适当的质点运动微分方程。⑤求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量。再分离变量积分。,dsdvvdtdv如力是位置的函数，需进行变量置换12[例1]桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。0解：①选重物(抽象为质点)为研究对象②受力分析如图所示③运动分析，沿以O为圆心,L为半径的圆弧摆动。131sindd,ttGtvgGmFa2cos,2nnGTlvgGmFa④列出自然形式的质点运动微方程.,,)(cos22为变量其中式得由vglvGTmax,0,1TT时因此重物作减速运动式知由)1(20maxglvGT⑤求解未知量[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。②拉力Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。14[例2]煤矿用填充机进行填充,为保证充填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶板A处。求(1)充填材料需有多大的初速度v0?(2)初速与水平的夹角0？0待求0000000000,,sin,cos;0,0,0vvvvvyxtyxyxvvHySxAMt,,,,,瞬时列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算422312121dddddd0ddctcgtyctcxcgttyctxmgtvmtvmyx微分方程积分一次再积分一次解：属于已知力为常量的第二类问题。选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。150,sin,cos:43002001ccvcvc代入初始条件得2000021sin,cos:gttvytvx则运动方程为0220200cos21tg:vxgxy则轨迹方程为代入最高点A处值，得：即将到达A点时的时间t,x=S,y=H代入运动方程，得,0sindd00gtvtygvt00singHsgv2cos00gHv2sin00发射初速度大小与初发射角为0m/s5.1022)sin()cos(222002000gHgHsgvvv312tgcossintg1000010sHvv16[例3]发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。取火箭(质点)为研究对象,建立坐标如图示。火箭在任意位置x处受地球引力F的作用。2222xmgRFRmMfmgxmMfF2222ddxmgRtxm建立质点运动微分方程xgRgRvv2202)2(则在任意位置时的速度),0(0220vvRxtdxxmgRRxdvmvvvxxx时即：)dddddddddd(dd2222xvvtxxvtvtxxmgRxvmvxxxxxx17可见，v随着x的增加而减小。若则在某一位置x=R+H时速度将减小到零，火箭回落。若时，无论x多大（甚至为∞）,火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返时（）的最小初速度gRv220gRv220xkm/s)(2.116370108.92230gRv（第二宇宙速度）xgRgRvv2022)2(18[例4]质量m=5kg的小球，用长L=2m的绳子一端系于固定点O，小球以均匀速度v0在水平面内作圆周运动，（1）已知绳与铅垂线间的夹角q40，求绳中的拉力和球的速度v0；（2）若绳中最大允许拉力为100N，求小球的最大容许速度v0和此时绳与铅垂线间的夹角q。解：以小球为研究的质点，作用于质点的力有重力mg和绳的拉力F。选取在自然轴上投影的运动微分方程，得1920