控制原理01-05.

Home2019/12/301电子教案机械工程控制基础课程5.控制系统的稳定性P140Home2019/12/302第五章系统的稳定性5STABILITYINTHECONTROLSYSTEM系统能在实际中使用的首要条件是系统要稳定。分析系统稳定性是经典控制理论的重要组成部分。经典控制理论对于判定一个定常线性系统是否稳定提供了多种方法。P1411.本章着重介绍几种定常线性系统的稳定性判据及其用法;2.提高系统稳定性的方法。Home2019/12/303本章将介绍:1.线性系统稳定性的初步概念;2.Routh与Hurwitz判据;3.Nyquist稳定判据;4.Bode判据;5.系统相对稳定性问题。P141Home2019/12/3045.1系统稳定性的初步概念5.1.1系统不稳定现象的发生p1p2Aqq阀芯输入x输出yc工作台负载反馈杆图5.1.1P141Home2019/12/305如图5.1.1所示的液压位置随动系统,从油源来的压力为pS的压力油,经伺服阀和管以流量q1，q2进入或流出油缸，阀体获得输入位移x0后，活塞输出位移，此输出再经活塞与阀体的刚性联系，即与反馈联系B反馈到阀体上，从而改变了阀芯与阀体的相对位移量,这样就组成了一个闭环系统,它保证了活塞跟随阀芯的运动而运动。当阀芯受外力右移，即输入位移xi后，控制口24打开，控制口31关闭，压力油进入左缸，右缸接通回油，使得活塞也向右移。当外力去掉后，阀芯停止运动。此时由于活塞滞后于阀芯的确位移而继续右移，直到控制人口2关闭，即回到原来的平衡位置。但因移动的活塞有惯性，在伺服阀回到原本的平衡位置后，活塞仍然不能停止，继续带动阀体右移，因而使控制口13打开，24关闭，压力油反过来进入右缸，左缸接通回油，这使活塞反向(向左移动，并带动阀体左移，直到阀体与阀芯回复到原来的平衡位置。但活塞因惯性继续左移，使油路又反向。在原位不动的情况下，活塞与阀体相对阀芯反复振荡。由于所选择的系统各参数(如质量，阻力和弹性等）不同，当系统是线性系统时，这种振荡可能是衰减的(减幅的），也可能是发散的(增幅的）或等幅的，如图5.1.2所示。当这种自由振荡是增幅振荡时，就称系统是不稳定的。P141Home2019/12/306从上例可知，系统不稳定现象有如下值得注意之点。首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。如上例，系统是在输入撤消后，从偏离平衡位置所处的初始状态出发，因系统本身的固有特性而产生振动的,故线性系统的稳定性只取决于系统本身结的构与参数，而与输入无关。(非线性系统的稳定性是与输入有关的。）其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。例如，图5.1.3所示的单位反馈系统，如原系统是不产生不稳定现象的，那么加入反馈后就形成为闭环系统。当输入撤消后，此闭环系统就以初始偏差作为进一步运动的信号，产生输出而反馈联系不断减去(或加上)。若反馈的结果，削弱了作用(即负反馈)，则使越来越大，此时，此闭环系统是否稳定，则视收敛还是发散而定。P141Home2019/12/307第三，控制论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在由初始状态不为零时的稳定性，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的；当然，根据的分析，也可以说，是讨论系统初始状态为零时，系统脉冲响应是收敛的还是发散的，至于对机械工程系统，往往用激振或加或外力的方法施以强迫震动或运动，因而,造成系统共振或偏离平衡位置越来越远,这不是控制理论讨论的范围。P141Home2019/12/3085.1.2稳定的定义和条件若系统在初始状态(不论是无输入时的初态还是输入引起的初态还是这两者之和,此外,n仍为系统阶数)的影响下,由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移,逐渐衰减并趋向于零(即回到平衡位置),则称该系统为稳定的;反之,若在初始状态的影响下,由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散(即偏离平衡位置越来越远),则称该系统为不稳定的。xxxooon(),(),,()()0001xxxoioioni(),(),,()()0001P142Home2019/12/309根据上述稳定性的定义，可以用下述两种方法，分别求得定常线性系统稳性条件。)3.2.2(.,)()()()()(01110111mnasasasabsbsbsbsXsXtxLtxLsGnnnnmmmmioio),()()()(01110111txbpbpbpbtxapapapaimmmmonnnn)(mn)..(115P142Home2019/12/3010设定常线性系统的输出为：N(s)是与初始条件xo(k)(0)(其中k=0,1,2,··,n-1)有关的s多项式,而xo(k)(0)输出xo(t)及其各阶导数xo(k)(t)在输入作用前t=0时刻的值,即系统在输入作用前的初始状态。研究此初始状态影响下系统的时间响应时,可在式(5.1.2)中取Xi(s)=0,得到在初始状态影响下系统的这一时间响应(即零输入响应)。XsMsDsXsNsDsoi()()()()()(),(..)512XsNsDso()()()GsMsDs()()()为系统的传递函数。式中：方法(1)——P142Home2019/12/3011若si为系统特征方程D(s)=0的根(或称系统的特征根，以及系统的传递函数的极点，i=1，2，···，n；si可以为复数)，且当各si不相同时,有)()(,)()()exp(])()([)]([)(1111010sDdsdsDsDsNAtsAsDsNLsxLtxissiinii由上可知,如系统所有特征根si的实部均为负值,即Re[si]0,即零输入响应最终将衰减少到零,即。这时,系统就是稳定的。反之,若特征之中有一个或多个根具有正实部,则零输入响应随时间的推移而发散,即。这样的系统就是不稳定的。toxtlim()0toxtlim()式中,P142Home2019/12/3012上述结论对于任何初始状态(只要不使系统超出其工作范围)都是成立的,而且当系统特征根具有相同值时,也是成立的。由上可见,式(5.1.1)右端各项系数,对系统稳定性没影响,这相当于系统传递G(s)函数的各零点对稳定性没有影响。因为这些参数反映了系统与外界作用的关系,反映了外界输入作用于同一系统的不同处的特性,而不影响系统稳定性这个系统本身的固有特性。P143Home2019/12/3013方法(2)——如对线性系统在初始状态为零时输入单位脉冲函数δ(t)(这实际上也是一些书籍中所讲到的瞬间干扰),正如第三章所指出,这等于是系统具有了一个初态。再由此初态出发可得到一个输出,即单位脉冲响应w(t)。w(t)的形式与零输入相应的形式相同。xxxooon(),(),,()()0001)()()()()(LsDsMsGsWtw)4.1.5(,)()(L)(L)(11sDsMsGtwP143Home2019/12/3014这一结论与第三章有关结论是一致的,可见只有当系统的全部特征根si(i=1,2,···,n)都具有负实部时,才有limw(t)=0。t→∞因此,系统的单位脉冲响应)5.1.5().exp()exp()()()(121tsAtssDsMtwiniiissnii此处建议读者根据§3.1与§3.6进一步理解如下论述:如果所指的系统初态是包括无输入时的初态与输入所引起的初态,或只是输入所引起的初态则系统是否稳定应由此时的过渡过程随时间的推移是否收敛至一个稳态响应来决定,而这是与本小节开始时讲的系统的稳定性的定义是一致的;此时过渡过程是否收敛也仅仅取决于系统的全部特征根是否都具有负实部。从这一点出发,读者还可以考虑,有无可能对系统施加合适的输入进而判明系统的稳定性。P143Home2019/12/3015综上所述,可以证明,不论系统的特征根是否相同。系统稳定的充要条件是:系统的全部特征根都有负实部。若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部,则系统必不稳定。P143Home2019/12/3016也就是说,若系统的传递函数G(s)的全部极点位于[s]平面的左半平面,则系统稳定。P143若有一个或一个以上的极点位于[s]平面的右半平面;则系统不稳定。若有部分极点位于虚轴上,而其余的极点均在[s]平面的左半平面,则系统为临界稳定,即x0(t)或w(t)趋于等幅谐波振荡。Home2019/12/3017由于对系统参数的估算测量可能不够准确,而且系统在实际运行过程中,参数值也可能有变动,因此原来处于虚轴上的极点实际上可能变动到[s]平面的右半平面,致使系统不稳定。从工程控制的实际情况看,一般认为临界稳定实际上往往属于不稳定。应当指出,上述不稳定区域虽然包括虚轴j,但并不包括虚轴所通过的坐标原点。因为在这一点上相当于特征方程之根si=0,系统仍属稳定。(si=0,表明第i个环节为积分环节。)比较式(5.1.3)、式（5.1.5),可知，上述两种方法从不同的角度出发得到了同一个结论;定常线性系统是否稳定全取决于系统的特征根si,而初态只是决定exp(sit)的系数而已。P144Home2019/12/30185.1.3关于稳定性的一些提法由上分析可知,对于定常线性系统而言,系统由一定初态引起的响应随着时间的推移只有三种情况:衰减到零;发散到无穷大;趋于等幅谐波振荡。从而定义系统是稳定的;不稳的;临界稳定的。但对于非线性系统而言,这种响应随着时间的推移不仅可能由上述三种情况,而且还可能趋于某一非零的常值或作非谐波的振荡,同时还有可能由初态的不同,这种响应随着时间的推移的结果以不同。因此对于非线性系统,以上对线性定常系统所讲的稳定性定义就不够用了。同理,以后对常线性系统所讲的稳定性的判据就不能用于非线性系统。1.ЛЯПУНОВ(Lyapinov,李亚普诺夫)意义下的稳定性P144Home2019/12/3019)6.1.5(),0()()(ttxkoA.M.ЛЯПУНОВ这一定义可以表述如下——如图5.1.4所示,若o为系统的平衡工作点，扰动使系统偏离此工作点的起始偏差(即初态)不超过域η,由扰动引起的输出(这种初态引起的零输入响应)及其终态不超过预先给定的某值,即不超过域ε,则系统称为稳定的,或称为李亚普诺夫意义下稳定。也就是说,若要求系统的输出不能超出任意给定的正数ε,而又能找到不为零的正数η,能在初态为的情况下,满足输出为:εo)(图5.1.4式中,k=0,1,2,···,则系统称为在ЛЯПУНОВ意义下稳定;P144)0()(koxЛЯПУНОВ在统一考虑了线性与非线性系统稳定性问题后,于1882年对系统稳定性提出了严密的数学定义。Home2019/12/3020反之,若要求系统的输出不能超出任意给定的正数ε,但却不能找到不为零的正数η来满足式(5.1.6),则称系统在李亚普诺夫意义下不稳定。2.渐进稳定性渐进稳定性就是前面对线性系统定义的稳定性,它要求由初态引起的响应最终衰减至零。因此,一般所讲的线性系统的稳定性,当然,也是李亚普诺夫意义下的稳定性;但对非线性系统而言,这两种稳定性是不同的。比较渐进稳定性与李亚普诺夫意义下稳定性可知,前者比后者对系统的稳定性要求高。系统若是渐近稳定的,则一定是李亚普诺夫意义下稳定的,反之则不然。在此应指出,在讨论李亚普诺夫意义下稳定性时,一般都将系统工作点的状态取为零态。这样作的结果是可以使扰动所引起此状态的改变或偏离作为初态,于是,就可以简化对问题的讨论与研究。P144Home2019/12/30213.“小偏差”稳定性小偏差稳定性又称“局部稳定性”。是针对对非线性系统而言,这种稳定性是用工作点上系统的线性化方程来进行稳定性分析的。这种分析的结论只在工作点附近成立。P1454.大范围稳定