控制工程基础ch3.

控制系统的时域分析时域分析有关概念----时域分析特点(1)具有直观和准确的优点；(2)可以从响应表达式或曲线上得到系统时间响应的全部信息；(3)采用解析方法，过程较为繁琐；(4)难于判断系统的结构和参数对动态性能的影响，进行系统设计时一般不用时域分析法；(5)对高阶系统进行分析时计算量很大，不易确定性能指标，必须借助于计算机实现。时域分析有关概念-----常用的方法稳定性分析---代数判据（劳斯判据）准确性分析---稳态误差的计算时域响应分析---直接由微分方程求解得出或由传递函数经拉氏变换求时域分析有关概念-----常用的方法时域分析过程:sXisXosXsXio规定一些特殊的试验输入信号xi(t)根据系统对这些试验信号的响应xo(t)得出系统的性能任意系统sXsXsXsXiioosXLtxoo1sXsXsXLiio1时域分析方法:时域分析有关概念-----常用的方法求传递函数为G(s)的控制系统在任意输入信号xi(t)作用下的输出响应的xo(t)步骤：(1)求输入的象函数Xi(s)；(2)求输出的象函数Xo(s)=G(s)Xi(s)；(3)对Xo(s)进行反拉氏变换得输出的时域表达式xo(t)时域分析有关概念----主要概念1.开环传递函数和闭环传递函数闭环传递函数为：)()(1)()()(sHsGsGsXsXio开环传递函数为：G(s)H(s)特别地：单位反馈系统H(s)=1，开环传递函数等于前向通道的传递函数G(s)。时域分析有关概念----主要概念2.特征方程和特征根控制系统闭环传递函数一般可写成：)()()()(11101110sDsMasasasabsbsbsbsXsXnnnnmmmmion≥m特征方程：D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0特征根：特征方程的根，即D(s)=0的解。时域分析有关概念----主要概念3.系统的零点、极点和零极点分布图闭环零点：闭环传递函数中M(s)=0的解闭环极点：闭环传递函数中D(s)=0的解，等价特征根开环零极点与开环传递函数相对应例：已知系统的传递函数为32)2(2)()(2ssssXsXio零点为-2极点为21j零极点分布图)()(=)()(sDsMsXsXio)54)(2()1(22ssssssG作零极点分布图1.求零点0)1(2ss2.求极点：0)54)(2(2sss系统的零极点分布与系统的性能有关1,021zzjpjpp22,22,23213.在复平面上，零点用“○”表示，极点用“×”表示[S]ReIm1-1-2-1-221×××时域分析有关概念----主要概念4.开环增益和开环根轨迹增益开环传递函数G(s)H(s)可以写成如下标准形式：---K为开环增益111111)()(2121sTsTsTssssKsHsGnm开环传递函数若写成如下标准形式：nmpspspsszszszsKsHsG2121*)()(---K*为开环根轨迹增益二者可以相互转换nmTTTKK2121*时域分析有关概念----典型输入信号典型输入信号是众多而复杂的实际输入的近似和抽象，是系统常遇到的输入信号形式，数学表达式十分简单(1)分析系统性能指标时，采用典型信号可使数学计算简单，便于比较系统的性能；(2)复杂信号输入时的系统性能是以典型输入时的性能为基础的；(3)有些复杂信号可以由典型信号叠加而成；(4)给系统输入典型信号，分析系统的输出响应，可以确定未知系统的数学模型。控制系统分析中采用典型输入信号的原因时域分析有关概念----典型输入信号1.阶跃(位置)信号000)(ttatx，，a为常数，a=1时为单位阶跃信号，记为1(t)。a为常数，a=1时为单位斜坡信号，记为t·1(t)。2.斜坡(速度)信号000)(ttattx，，时域分析有关概念----典型输入信号3.抛物线(加速度)信号000)(2ttattx，，a为常数，a=1/2时为单位加速度信号。a为强度，a=1时为单位脉冲信号，记为δ(t)。4.脉冲(冲击)信号tttatx或，，000)(时域分析有关概念----典型输入信号选取典型信号的原则•选择的输入信号能反映系统在工作中的实际•形式上应尽可能的简单斜坡信号随时间逐渐变化的输入(机床的运动、雷达的转动等）阶跃信号突然的扰动量、突变的输入(合断电)脉冲信号冲击输入(导弹发射的冲击力)正弦信号随时间往复变化的输入（机床的振动）瞬态性能指标是以阶跃信号为典型输入信号定义的。不论采用哪种输入信号，分析出来的系统特性是一致的。时域分析有关概念----时域响应控制系统为mimmimmimnonnonnonbdttdxbdttxdbdttxdbadttdxadttxdadttxda+)(++)(+)(=+)(++)(+)(1)1()1(101)1()1(10------微分方程的全解：xo(t)=xoh(t)+xov(t)xoh(t)--齐次方程的通解，只与微分方程(即系统的结构参数或系统的特征根)有关。对于稳定的系统，当时间趋于无穷大时，通解趋于零。xov(t)---特解，与微分方程和输入有关，时间趋于无穷大时特解应趋于一个稳态的函数，全解将趋于一个稳态的函数，使系统达到一个新的平衡状态，工程上称为进入稳态。时域分析有关概念----时域响应控制系统的时间响应由瞬态响应和稳态响应组成瞬态响应也称过渡过程或动态过程(AB段)，指从输入信号作用到系统的时刻开始，到系统达到稳态状态前的响应过程稳态响应也称静态或稳态过程(CD段)，指在输入信号作用下时间趋于无穷大时的输出响应，稳态过程表征输出量复现输入量的程度时域分析有关概念----时域性能指标动态性能指标(以二阶系统单位阶跃响应为例)上升时间tr：响应曲线从0首次达到稳态值xo(∞)所用的时间峰值时间tp：响应曲线从0达到第一个峰值所用的时间最大超调量Mp：%100)()(ooompxxxM调整时间ts：指输出响应曲线进入并一直保持在距稳态值允许的误差范围△所需的最小时间。△为±5%或±2%时域分析有关概念----时域性能指标稳态性能指标用稳态误差表示是系统的控制精度的一种度量，通常在阶跃信号、斜坡信号和加速度信号作用下进行测定或计算。在稳态(时间趋于无穷大)时，如果系统的输出量不等于输入量或输入量的函数，则说明系统存在误差。稳定性分析----稳定的概念稳定性是控制系统能完成控制任务的首要前提系统在干扰作用的情况下，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，经过一定的时间，系统又能恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；如果系统在扰动消失后不能恢复到原来的平衡状态或离平衡状态越来越远，则系统是不稳定的稳定的定义一：稳定不稳定临界稳定稳定性分析----稳定的概念系统在干扰作用下，偏离了正常工作点，如果过渡过程随时间的推移逐渐衰减并最终趋于零，则系统能够回到原来的工作点，称该系统稳定；否则，系统不稳定。稳定的定义二：控制理论讨论自由振荡下的稳定性输入为零，系统仅存在初始偏差不为零稳定性分析----稳定的充分必要条件干扰作用下的系统的输出：nnnnmmmmioiiooasasasabsbsbsbsXsXsXsXsXsX11101110)()()()()()(rjjjjjjjkiiijsjsesdpsc11)]()][([rjjjjjtkitpiotBtAeectxji11)sincos()(有为使0)(limtxot应有-pi0，-σj0-----------(-pi，-σj±jωj为系统的特征根)稳定的充分必要条件：系统的特征方程的根(闭环极点)全为负实数或具有负实部的共轭复根。也即闭环极点(特征根)全部位于s平面左半部。稳定性分析----稳定的充分必要条件例系统的闭环传递函数如下，判断系统的稳定性5()(1)(6)sGsss稳定单位反馈系统的开环传递函数如下，判断系统是否稳定？例5()(2)sGss不稳定ssssG2)2(4)(临界稳定稳定性分析----代数(劳斯)稳定性判据系统的特征方程为0)(1110nnnnasasasasD劳斯判据步骤：(1)若特征方程各项系数均大于0，系统可能稳定，否则系统不稳定。(2)列劳斯阵列表：10112124321343212753116420fsesddsccccsbbbbsaaaasaaaasnnnn稳定性分析----代数(劳斯)稳定性判据系统的特征方程为0)(1110nnnnasasasasD01232133212753116420ssscccsbbbsaaaasaaaasnnnn130211aaaaab150412aaaaab170613aaaaab121311bbaabc131512bbaabc稳定性分析----代数(劳斯)稳定性判据10112124321343212753116420fsesddsccccsbbbbsaaaasaaaasnnnn(3)根据第一列元素进行判断：若第一列元素全为正数，则该系统是稳定的，闭环极点(特征根)全部在s平面的左半平面；若第一列元素有负数，则该系统不稳定，并且第一列元素符号改变的次数等于系统右半平面特征根的个数。稳定性分析----代数(劳斯)稳定性判据例：已知系统的特征方程为D(s)=s4+6s3+12s2+11s+6=0，判断系统的稳定性解：(1)必要性判断。特征方程各项系数均为正数，系统可能稳定(2)劳斯列表6061/45566/610116612101234sssss(3)第一列元素符号均为正，系统稳定D(s)=(s+2)(s+3)(s2+s+1)=0求得特征根为-2，-3和2321j稳定性分析----代数(劳斯)稳定性判据例：已知系统的特征方程为D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0，判断系统的右半平面特征根的个数。解：(1)必要性判断。特征方程各项系数均为正数，系统可能稳定(2)劳斯列表(3)第一列元素符号不全为正，系统不稳定，有2个右根5065104253101234sssss例系统稳定的K值sXsXio解：-sXisXo21sssK×21121sssKsssKKsssK21系统特征方程为：02323KssssD0123321ssKss36KK为使系统稳定，有：06K0K60K系统稳定的充要条件：稳定性分析----代数(劳斯)稳定性判据例：反馈系统如图所示，确定使系统稳定的K值范围。解：闭环传递函数)15.0()15.0)(1(1)15.0)(1()15.0(1)15.0)(1(1)()(222sKsssssssssKsssssXsXio特征方程：0)15.0()15.0)(1()(2sKsssssD0)5.01(25.15.0)(234KsKssssD即稳定性分析----代数(劳斯)稳定性判据例：反馈系统如图所示，确定使系统稳定的K值范围。特征方程：0)5.01(25.15.0)(234KsKssssD即KsKKKsKKsKsKs02123425.05.2125.025.15.25.125.05.205.015.125.0为使系统稳定，应有0125.025.15.2025.05.202KKKK得系统稳定的K取值