控制系统的根轨迹.

天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A第四章控制系统的根轨迹4.1根轨迹概念及特性4.2一般根轨迹的绘制法则4.3零度根轨迹的绘制法则4.4参数根轨迹（广义根轨迹）4.5增加开环零极点对根轨迹的影响天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A1、基本概念定义：系统的根轨迹是指当开环系统的某一参数或某些参数发生变化时，闭环系统特征方程的根在S平面的变化轨迹。4.1根轨迹概念及特性背景：反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数，只要求解出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律就唯一确定了。但对于3阶以上的系统求根比较困难，如果系统中有可变参数，求根就更加困难了。1948年，伊凡思提出了闭环极点变化轨迹的图解方法-根轨迹天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A1、基本概念例4-1-1：系统如图，讨论:0k变化时，系统闭环特征根的变化。(1)kssRC解：系统的闭环传递函数为2()ksssk特征方程的两个特征根为1,2111422skk从0变化时，12s,的变化情况如下图。4.1根轨迹概念及特性天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A1、基本概念0-0.5-1-0.50.51,2111422sk4/1＝K2/121ss01s1s2K＝0时4/10K两个负实根K值增加相对靠近移动离开负实轴，分别s=-1/2直线向上和向下移动。K4/1一对共轭复根S平面4.1根轨迹概念及特性天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A1、基本概念根轨迹图系统相关的性能信息4/10K4/1＝K4/1K过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；临界阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。1）当K值确定之后，根据闭环极点的位置，该系统的阶跃响应指标便可求出。2）闭环极点不出现在S平面右半部，系统始终稳定。结论：系统开环增益确定闭环极点在S平面上的位置也确定。4.1根轨迹概念及特性天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A2、闭环零极点与开环零极点的关系对下图所示反馈控制系统()Gs()Hsrc记前向通路的传递函数和反馈通路的传递函数为11()()()fGiiqiikszGssp，11()()()lHjjtjjkszHssp式中，iz为前向通路传递函数的零点，ip为前向通路传递函数的极点，Gk称为前向通路传递函数的根增益；jz为反馈通路传递函数的零点，jp为反馈通路传递函数的极点，Hk称为反馈通路传递函数的根增益。4.1根轨迹概念及特性天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A系统的开环传递函数为*1111()()()()()()flijijqtijijkszszGsHsspsp式中，ijzz、为系统开环传递函数的零点，ijpp、为系统开环传递函数的极点，*GHkkk为系统开环传递函数的根增益，又称为根轨迹增益。系统的闭环传递函数为11*1111()()()()1()()()()()()ftGijijqftlijijijijkszspGssGsHsspspkszsz2、闭环零极点与开环零极点的关系4.1根轨迹概念及特性天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A2、闭环零极点与开环零极点的关系1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点，与根轨迹增益无关；2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹增益均有关；3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。单位反馈系统（1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；（2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。*GHKKK11*1111()()()()1()()()()()()ftGijijqftlijijijijkszspGssGsHsspspkszsz4.1根轨迹概念及特性天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A3、根轨迹模值条件和相角条件由于闭环传递函数的零点容易从系统开环传递函数直接得到，故下面只讨论闭环传递函数的极点。为此，将开环传递函数的mfl个零点，统一用iz表示，将开环传递函数的nqt个极点，统一用ip表示，即有*111111()()()()()()()()flmijiijiqntjijjijkszszkszGsHsspspsp则方程式11()1()()10()miinjjkszGsHssp称为根轨迹方程。根轨迹方程中根轨迹增益*k连续变化时，根轨迹方程的特征根在复平面上的变化轨迹称为根轨迹。4.1根轨迹概念及特性天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A将根轨迹方程分解成模值条件：111miinjjkszsp相角条件：11()()(21)mnijijszspk（:0k）11()()2mnijijszspk（:0k）式中，k整数，k的不同取值对应不同的根轨迹分支，根轨迹共有max(,)nm个分支。:0k变化时的根轨迹称为一般根轨迹，:0k变化时的根轨迹称为零度根轨迹，:k时的根轨迹称为全根轨迹。满足相角条件的点都在根轨迹上，模值条件仅用来求取根轨迹各点上对应的k值。3、根轨迹模值条件和相角条件天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A3、根轨迹模值条件和相角条件11K解根据模值方程求解值41|0.50.51|Kj模值方程已知系统开环传递函数当变化时其根轨迹如下图所示，求根轨迹上点所对应的K值。4()()/(1)GsHsKs0K10.50.5sj14K例4-1-2天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A4、根轨迹的特性4.1根轨迹概念及特性)1()1)(1()1()1)(1()()(2121sTsTsTssssKsHsGpm1）开环传函增益与根轨迹增益关系时间常数形式零极点形式0lim(s)H(s)vsKsG11()/()mnvijijkkzp天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A4.1根轨迹概念及特性4、根轨迹的特性2）根轨迹的对称性：根轨迹对称于实轴ImRe0ImRe03）根轨迹的连续性：轨迹是关于根轨迹增益的连续函数天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A第四章控制系统的根轨迹4.1根轨迹概念及特性4.2一般根轨迹的绘制法则4.3零度根轨迹的绘制法则4.4参数根轨迹（广义根轨迹）4.5增加开环零极点对根轨迹的影响天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A4.2一般根轨迹的绘制法则法则1-根轨迹的分支数=闭环特征方程根的个数=max(m,n)0)()(111niimiipszsK准备工作：把系统的特征方程化为标准零-极点形式，并在S平面内标出开环传函的零（O）极点（X）。m个开环零点n个开环极点p1p2p3p4z1z2z30j天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A4.2一般根轨迹的绘制法则法则2-根轨迹的起点与终点起于开环极点，终于开环零点。*111)()(Kpszsniimii由根轨迹方程有：*0K0ipsips→→*K0izsizs→→起点终点若开环零点数m开环极点数n(有n-m个开环零点在无穷远处)则有(n-m)条根轨迹趋于无穷远点天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A4.2一般根轨迹的绘制法则法则3-实轴上的根轨迹实轴上的某一区段，若其右边的开环实数零、极点个数之和为奇数，则实轴上的该区段是根轨迹。1s0ImRe[]s1p1z2p3p4p5p1s2z3z天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A4.2一般根轨迹的绘制法则设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求时的闭环根轨迹。0K2(1)()(2)KsGsss准备工作法则1：两条法则2：起于0、－2，一条终于有限零点－1，另一条趋于无穷远处。法则3：在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间是根轨迹。天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A4.2一般根轨迹的绘制法则法则4-根轨迹渐近线当mn时，有nm条根轨迹沿nm条渐近线趋于无穷远处，这nm条渐近线交于实轴上一点，交点的坐标值为11nmjijiapznmnm条渐近线与实轴的夹角为(21)aknm式中，012k、、，取够nm个为止。*1()Kssp*12()()Ksspsp天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A4.2一般根轨迹的绘制法则法则5-根轨迹的起始角和终止角根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。起始于开环极点jp处的根轨迹的起始角的计算11180()()mnpjjijkikkjpzpp终止于开环零点iz处的根轨迹的终止角的计算11180()()mnziikijkjkizzzp天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A4.2一般根轨迹的绘制法则法则5-根轨迹的起始角和终止角设系统开环传递函数*(2)(2)()()(12)(12)KsjsjGsHssjsj试绘制系统概略根轨迹。天津大学电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineering&Automation自动控制原理A4.2一般根轨迹的绘制法则法则5-根轨迹的起始角和终止角起始于重极点1p、2p、、rp的r条根轨迹的初始角依次计算如下1~1111(21)180()()rmnpijijrrkpzpp式中0