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最优控制理论简单研究姓名：学号：内容摘要最优控制理论（optimalcontroltheory），是现代控制理论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。它是现代控制理论的重要组成部分。其所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多。因此最优控制理论对于解决实际问题和促进科学的发展具有重要的意义和作用。关键字：最优控制；状态方程；稳定性引言控制工程领域早期的经典控制方法和技术早已被工程师们所熟知并进行广泛的应用。一般而言经典控制非常适合解决单输入单输出线性定长系统的控制器设计问题。然而对于高阶系统或多输入多输出系统，采用经典控制方法很难获得令人满意的控制性能。在这种情况下，控制学者于20世纪60年代初开始研究状态空间方法，并依此发展出现代控制的理论框架。其中最优控制则是现代控制理论的主要分支，解决最优控制问题的主要方法有变分法、极值原理和动态规划。从数学的观点来看，最优控制研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，属于变分学的范畴，但它只能解决一类简单的最优控制问题，因为它只对无约束或开集性约束是有效的，而无法解决工程实际中经常碰到的容许控制属于闭集的一类最优控制问题。这就促使了控制学者们开辟求解最优控制问题的新途径。苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用，而这两种理论则被称作是最优控制理论的两大基石，它们对现代控制理论的发展起了重要的推动作用。理论形成阶段：自动控制联合会(IFAC)第一届世界大会于1960年召开,卡尔曼（Kalman）、贝尔曼（R.Bellman）和庞特里亚金（Pontryagin）分别在会上作了“控制系统的一般理论”、“动态规划”和“最优控制理论”的报告,宣告了最优控制理论的诞生,人们也称这三个工作是现代控制理论的三个里程碑。1953－1957年，贝尔曼(R.E.Bellman)创立“动态规划”原理。为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基本的递推关系式使过程连续地最优转移。“动态规划”对于研究最优控制理论的重要性，表现于可得出离散时间系统的理论结果和迭代算法。1956－1958年，庞特里亚金创立“极小值原理”。它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。对于“最大值原理”，由于放宽了有关条件的使得许多古典变分法和动态规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是解决最优控制问题的一种最普遍的有效的方法。同时，庞特里亚金在《最优过程的数学理论》著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作，还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩—图克定理)以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。最优控制问题的描述1、系统的状态方程。对连续系统，其状态方程为：对离散系统，其状态方程为：X(k+1)=f(X(k),u(k),k)系统状态方程给出了系统内部状态随系统控制输入的变化关系，或者说是内部状态的一种约束关系，或者说是系统状态在整个控制过程的转移约束关系。2、系统状态的始端和终端条件。始端和终端条件给出了系统状态在系统控制开始和结束时刻的约束条件。端点条件一般有三种类型：固定端、自由端和可变端。固定端就是时间和状态值都是固定的端点。例如初始时间t0及其初始状态X(t0)都固定就称始端固定条件，而终端时间t1及其终端状态X(t1)都固定就称终端固定条件。一般来说，两端固定是最简单的情况。自由端是指端点时间固定，但端点状态值不受任何限制的端点。有始端自由和终端自由两种。可变端就是端点时间及其状态值都可变的端点。但一般它满足一定条件，如满足C(t1)=0，或N[X(t1),t1]=0。3、系统控制域。在实际控制系统中，控制输入u(t)往往是受限制地任意取值的，例如作为作为汽车控制的发动机，其输出功率就有最大功率的限制。所以在许多最优控制问题中，需要规定一个)),(),((ttutXfX允许的控制域，即控制允许取值的范围，在此范围取值的控制称为允许控制。如果系统目标泛函只取式中的第一项，即：或则称为终端型或迈耶（Mayer）型。如果系统目标泛函只取式中的第二部分，即或则称为积分型或拉格朗日(Lagrange)型。最优控制问题就是在满足上述1、2、3点的条件下，找到一个控制u(t)，使得系统目标泛函J达到最大或最小。这样的控制u(t)就称系统的最优控制u*(t)，将u*(t)代入系统状态方程就可解得系统的状态轨迹X(t)，称之为最优状态轨迹X*(t)。一个最优控制问题的复杂程度，或者说其求解和实现的难易程度是由上述四方面的具体规定，特别是系统的性能指标的具体形式来决定的。一般来说，两端固定的线性系统，其控制不受限制，且系统性能指标为积分型时，最优控制问题是比较简单的。结论常见的实际物理系统，性能指标的提法合理则一般存在最优解，而且在一定的范围内有唯一解。但是，对于一个比较复杂的问题，最优控制问题解的存在性和唯一性的判定是比较复杂的，有时甚至是不可能的。现在的研究一般都假定是有唯一解的最优控制问题，即可以求出一个最优的解来。我们还应该了解，我们希望找到的是“整体”的最优控制，也就是在允许的范围内，寻找的控制作用使动态系统的性能指标达到最小或者最大。但是，在实际情况中除二次型性能指标的最优控制问题外，一般是很难用定量方法求得整体最优控制的，因此常常是求出许多局部最优控制，再挑选整体最优控制。21世纪是科技迅猛发展的时代，各门学术都将有令人耳目一新的成就出现。而最优控制仍是一个十分活跃的研究领域，在理论和实践两方面都得到了充分的发展，为科学的发展和人类的进步作出了巨大的贡献。参考文献:[1]胡寿松，王执铨，胡维礼.最优控制理论与应用[M].北京：科学出本社,2005.[2]王青，陈宇.最优控制--理论、方法与应用[M].北京：高等教育出版社,2011.[3]孙文瑜,徐成贤.最优化方法，高等教育出版社[M],2004[4]王孝武.现代控制理论基础，（第二版），机械工业出版社[M],2006[5]顾立钧.最优控制系统[M].北京：水利电力出版社，1993.))((1tXJ))((lXJ10)),(),((ttdtttutXFJ1)),(),((lhkkkukXFJ