西安交通大学理学院

1西安交通大学理学院魏平第四章无穷级数第一节常数项级数作业：P278（A)2,4,6,8,10,12双2一、引入：龟兔赛跑s1,2sTv无限的过程在有限的时间内完成无穷多项相加的涵义？11111101？如何定义无穷多项相加的和？1.1常数项级数的概念、性质与收敛原理2311112222nssssTvvvv221,2sTv331,2sTv免龟龟免龟免2s4s:,2vv设速度龟免3,na二、常数项无穷级数的概念（常数项级数或级数）1nkka＝na称为级数的通项11,sans通项称为级数的部分和,ns212,saa12nnsaaanans1nnnass121nkkaaaa＝4三、级数敛散性定义1limnnnnssa定义　如果，则称收敛，极限值s称为级数的和，记作1nnsa只要部分和数列收敛，级数就收敛，反之亦然；级数的和就是部分和数列的极限1nna否则,称发散。级数研究的两个问题：（1）是否收敛？（2）收敛时和为多少？5例1证明等比级数2naaqaqaq1,1,qq收敛发散证211nnqsaaqaqaq时，11naqq,11aqq,q11q时，aaa1q时，aaaaaa0nnaq6例2证明21141nn收敛，并求和。证211412121nannn11122121nn12nnsaaa111111123352121nn111221n12n2111412nn7四级数的主要性质11(1),;nnnnascacs若则111(2),,.nnnnnnnaAbBabAB若则(3).添入或去掉有限项不改变级数的敛散性1.nnkkNaa与敛散性相同.(4),收敛级数不改变次序任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变(5),lim0nnnaa若收敛则81.2正项级数的收敛问题nnas收敛收敛定理：正项级数nnas收敛上有界正项级数或收敛或发散于正无穷大1.基本定理Th单调有界数列必收敛12310,0nnnasssss0nnnnabab10,nnnkkasa单调增9例3证明调和级数11nn是发散的。证法1111ndxxln(1)n11nn发散法2（反证法）假设11nsn2111122nnssnnn11112222nnn2limlimnnnnsss2lim0nnnssoxy1kk234112311123nnnsdxdxdxdxn1yx23411231111nndxdxdxdxxxxx11111kkkkdxdxkx10例4证明p级数1111123ppppnn1,1,pp发散收敛证1111,123nppnpsp111123n1111,123nppppsn23121123npppndxdxdxn231211npndxx11npdxx111111ppnoxy1kk1pyx1111kkppkkdxdxkx112.第一比较准则0nnab(1)nnba收收(2)nnab散散证0nnab11(1)nnnnnnab1nnna11(2)nnnnnnba1nnnb例5证明11nn收敛。证1122nnnn时11.nn收敛123.第二比较准则(1)lim0nnnabnnab与同敛散证(1)lim0nnnab0,0,,nnaNnNb0nnaqpbnnnqbapbnnba收收(2)lim0nnnab(3)limnnnabnnba散散(2)lim0nnnabnnabnnnbab(3)limnnnab0,,nnnnaMMaMbb13例4判别下列级数的敛散性11!n1112,!2nnn12lnn2133nnn12n收敛解,lnxxxxxe112lnnn1n发散22113321nnnnnn11n11n发散第一比较准则关键在于选择一个敛散性已知的级数作为比较级。0nnnnababnN141nlim1121nnnnaaaa若，时，收敛；时，发散。1limnnnaa10,0,,nnaNnNa时1,NNaqa4.达朗贝尔准则(检比法)证(1)1,,1qq可选择使1nnaa111ppNpNNpppaqaaq221NNNaqaqa1pNpNpNaqaqa12lim1nnnaa11nnaqa1,NNaqana0155.柯西准则(检根法)nlim1121nnnnaaa若，时，收敛；时，发散。证nlimnna，0,0,,nnNnNa时nnanna(1)1,,1qq可选择使nnaqnnaqNNaq11NNaqNpNpaq001NpNpNppppaqqq(2)1,1nnqannqannnNnNqa发发16注意:检比法与检根法的优点是：1时都没有确定的结论,如1pn1limlim11pnnnnanan1limlim1nnpnnnan11,1.pppn在收敛发散检比法与检根法的不足是：隐含了一个比较级数，为等比级数nq1q在是收敛17例1判别下列级数的2(1)!nn23(2)!nnn1(3)(arctan)nn!(4)nnn证112!(1)limlim(1)!2nnnnnnanan2112(1)3!(2)limlim(1)!3nnnnnnannann1(3)limlim(arctan)nnnnnnan11(1)!(4)limlim(1)!nnnnnnannann2lim011nn223(1)lim011nnnn12lim1arctannn1lim11nnnne182.第一比较准则0nnab(1)nnba收收(2)nnab散散3.第二比较准则(1)lim0nnnabnnab与同敛散nnba收收(2)lim0nnnab(3)limnnnabnnba散散1nlimnnaa若，4.达朗贝尔准则(检比法)5.柯西准则(检根法)nlimnna若，0,na1.基本准则nnas收敛上有界1121nnnaaa时，收敛；时，发散;(3)=1　时，无法判断。19例5判别下列级数的敛散性2113nnn2sin2n5131nn24lnnnn0nnaa发散10,nnnaanb可根据是的几阶无穷小来选择211lim3nnnnn1发散1limsin22nnn收敛3/21nbn2511lim1nnnn0收敛收敛不足是要选一个级数20例6判别下列命题是否正确?21,.nnaa收敛则收敛2,,.nnnnabab收敛发散则发散3,.nnnnabab和都发散则也发散EEE11nan212,(1)nnnabn113,nnabnn21例71(1),,(1).nnrrr当取什么值时级数收敛并求其和解11(2)(`1)(2).nnnn求级数的和11(3)(31)(34).nnn求级数的和1(1)1qr111qr11001111111rrsrrr11121(2)(`1)(2)212nannnnnn1121121121121212323434512nsnnn14111(3)33`134nann11111113477103`134nsnn11222谢谢!