推荐结构弹塑性分析的新本构关系

推荐结构弹塑性分析的新本构关系秦荣（广西大学南宁市530004）摘要本文介绍了作者创立的新本构关系。这种新本构关系避开了屈服曲面，加载曲面及流动法则，避免了传统的经典本构关系带来的巨大困难及严重缺陷，突破了传统的经典本构关系。关键词：结构弹塑性分析新本构关系弹塑性应变理论弹粘塑性应变理论结构分析与结构材料的本构关系有密切关系。结构的材料是多种多样的，不同的材料有不同的本构关系。因此在结构非线性力学中，研究材料本构关系是一个重要问题。目前，国内外对结构弹塑性分析主要采用传统的经典本构关系-流动法则理论，它依赖于流动法则，而流动法则又依赖于屈服曲面、强化准则及加载曲面。在复杂应力状态中，屈服曲面及加载曲面是否存在，现在还没有实验证实，只是推猜及理想化，同时流动法则会导致复杂的非线性应力应变关系。因此，利用这种传统的经典本构关系分析结构弹塑性问题，不仅计算非常复杂，而且也难保逼真度，为结构弹塑性分析带来了巨大的困难和严重的缺陷。本构关系是结构非线性分析不可缺少的理论基础。评价一个本构关系的好坏，不仅要看它们所反映客观的逼真度，而且还要看它们在计算上是否经济方便。如果一个本构模型在计算上很复杂，难以实现，则这个模型的逼真度再好，也难以推广使用。由此可知，建立一个新的本构模型，必须同时考虑到理论上的严格性、参数的易确定性及计算机实现的可能性。一个好的本构模型应在这三者之间达到最优的平衡状态。针对经典本构关系存在的问题，作者建立了新的本构关系[1~12]。这种新的本构关系避开了屈服曲面、加载曲面及流动法则，避免了经典本构关系带来的巨大困难及严重缺陷。本文介绍这种新的本构关系。1弹塑性应变增量理论1.1单向拉伸状态图1是一个单向拉伸状态的应力应变曲线，其中A点为材料的弹性极限点或屈服极限点，也称初始弹性极限点或初始屈服点。材料在拉伸作用下应力-应变关系沿曲线OAB到达B点后，如果卸载，则卸载应力-应变关系沿直线BD下降，且BD∥OA。由此可知，当应力超过弹性极限或屈服极限s时，材料的总应变为ep（1）式中e及p分别为弹性应变及塑性应变，而应力可写成形式)(psH（2）由此可得psdHdd'（3）式中d、sd及pd分别为、s及p的增量。如果采用线性强化弹0ABpeDsC图1单向曲线塑性模型，则由式（3）可得psH'（4）式中H为材料的强化函数，即pdHd（5）当重新从D点开始加载时，应力-应变关系沿曲线DBC变化。不论加载曲线是OAB还是DB，在B点的应力都是，因此可以按路径DB来确定B点的应力状态。因为在DB段中的变形处于弹性状态，因此eE。故由式（1）可得pE（6）将式（4）代入式（6）可得()1pskEkE（7）式中1/sskHE（8）将式（8）中的s代入式（7）可得()1pskEkE（9）这是塑性应变与总应变的关系（图2）。如果采用增量形式，则()1pskEdddkE（10）式中d、pd及sd分别为、p及s的增量。s为弹性极限应变或后继弹性极限应变（屈服应变或后继屈服应变）。E为弹性模量。在图1中，B点为材料的后继弹性极限点或后继屈服极限点。由此可知，在加载过程中，加载路径超过A点后，经过加载路径ABC上的任何一点（除A点外）都是后继弹性极限点或后继屈服极限点。例如，如果设BC上有B1、B2、B3及B4点，则B点、B1点、B2点、B3点、B4点及C点都是后继弹性极限点或后继屈服极限点，即),(),(BBBSBsBB),(),(111111BBBSBsBB),(),(222222BBBSBsBB图2εp–ε关系0sp),(),(CCCSCsCC由此可得BBBSBSEE1111BBBSBSEECCCSCSEE（11）式中B及C分别为加载路径ABC上B点及C点的应力。1.2简单加载状态如果在加载过程中，结构内任一点的应力分量之间的比值保持不变，且按同一个参数单调增长，则这个加载称为简单加载，它符合简单加载定理[5]。在简单加载条件下的实验研究发现，等效应力i及等效应变i之间存在着几乎相同的关系，而与应力状态无关。因此，可以假定，结构在任何应力状态下，其等效应力与等效应变之间存在着唯一的关系()ii（12）式中()i的具体形式由简单拉伸实验确定。这个假定称为单一曲线假定。实际上，在验证单一曲线假设的实验中，并没有完全满足简单加载条件，因此可以认为，在偏离简单加载不大的情况下，单一曲线假设仍然适用。由此可以得出一个结论：只要是简单加载或偏离简单加载不大，任何应力状态的ii曲线基本上与简单拉伸的曲线相同，可以用曲线表示ii曲线。在空间受力状态，如果加载方式是简单加载，则各点的应力分量都遵循同一比例，即0ijijtzyxji,,,（13）各点的同类应力应变曲线都遵循同一曲线。如果材料处于塑性状态，则由图3可得spijijijijHpijeijij（14）式中：ij为应力分量；sij为弹性极限应力或屈服极限应力；ij为总应变；e为弹性应变；pij为塑性应变分量；ijH为强化系数，即ijijpijdHd（15）对于各向同性体，由广义虎克定律可得B点的应力分量：)(ijzzyyxxeijijEjieijijGji（16）式中zyxji,,,。E为弹性模量，G为剪切模量，即)1(2EG（17）其中为泊松比。由上述可求出图3B点的应力分量。图3ijij曲线如果设1、2及3为空间应力问题的主应变方向，则可以证明，在简单加载情况下，主方向的塑性应变分量为()1,2,31ipsiiiiiikEikE（18）式中：iE为i方向的弹性模量；is为i方向的弹性极限应变或后继弹性极限应变（屈服应变分量或后继屈服应变分量）；epiii；1iikH，其中iH为i方向的强化系数，即iipidHd。如果固体为各向同性体，则si可写为下列形式：Esisssssi/)(321（19）式中i1，2，3。s1、s2及s3可写成下列形式：BsssE11BsssE22BsssE33（20）其中s及s分为屈服应力及屈服应变，或后继屈服应力极限及后继屈服应变极限（或后弹性极限）。对于各向同性体，任意方向的塑性应变分量可以通过坐标变换获得ppppzxppppyzppppxyppppzppppyppppxnnmmllnnmmllnnmmllnmlnmlnml313213113332232132321221121323223123322222122321221121（21）式中il、im及in分别为ix与主应力方向1、2及3之间的夹角余弦，,,ixxyz。如果固体为各向同性体，则将式（18）代入式（21）可得)()1()(spkEkE（22）式中=[][][]TxyzxyyzzxpppppppTxyzxyyzzxsssssssTxyzxyyzzx)()(kBkE1)1(1kE/1)1()1(kBkE（23）式（23）的具体形式见式（30），这时式（30）按各向同性处理。sij由式（24）确定：sssszxssssyzssssxysssszssssyssssxnnmmllnnmmllnnmmllnmlnmlnml313213113332232132321221121323223123322222122321221121（24）如果固体为正交各向异性体，则可以证明1=(I+[kB])[]()pskB（25）式中TzxyzxyzyxijpepesijsAGkGkGkEkEkEkdiagkEAAkEAkB2313123231212332211211),,,,,(　（26）I为单位矩阵，其中1[A]及2[A]分别为2221111111112222222222222223333333331121212122112211221232323233223322332313131311331133113[A]=222222222lmnlmnlmnlmnlmnlmnlmnlmnlmnllmmnnlmlmnlnlmnmnllmmnnlmlmnlnlmnmnllmmnnlmlmnlnlmnmn（27）2221111111112222222222222223333333332121212122112211221232323233223322332313131311331133113222222222[A]=lmnlmnlmnlmnlmnlmnlmnlmnlmnllmmnnlmlmnlnlmnmnllmmnnlmlmnlnlmnmnllmmnnlmlmnlnlmnmn（28）Tsssssssij312312321由式（2.17）可简化为1=[1+kB]()()pskB（29）式中1(kB)(kE,kE,kE,kG,kG,kG)111[1+kB](,,...,)1kE1kE1kGxxyyzzxyxyyzyzzxzxxxyyzxzxdiagdiag（30）由图3可知，利用正交广义虎克定理可求出Ｂ点的应力分量：jiEEEEEEiiijjjjieijiij)(333222111jiGeijijij3,2,1,ji（31）式中ij为i方向应力引起j方向应变的泊松比。由上述可得：3,2,1,/)(33322211jijirrGjiEEEEssijijsijsijjiiijsjsjsjssij（32）式中sij为屈服应变或后继弹性应变极限或后继屈服应变极限。如果采用eD,则可证明1=(I+[kD])[]()pskD（33）其中)),,,(312332111zxyzxyzyxTkkkkkdiagkAkDAkD，（34）式中：D为弹性矩阵；I为单位矩阵。式（31）可简化为)()(1spDkDkI（35）式中*k(k,k,k,k,k,k)xyzxyyzzxdiag（36）由上述可知，式（18）、（22）、（25）、（29）、（33）及（35）分别代表塑性应变向量与总应变向量的新关系。这种新关系称为弹塑性应变理论[1，5]。s可利用式（24）或式（26）确定。1.3复杂加载状态如果结构处于复杂加载状态，则由上述可得1=I+[kB][]()psdkBdd（）（37）或1=[1+kB]()()psdkBdd（38）如果采用edDd，则1=I+[kD][]()psdkDdd（）（39）或*1=(I+kD)*()psdkDdd（40）式中：d、ed、pd及sd分别为、e、p及s的增量。由上述可知，式（37）~（40）代表塑性应变向量增量与总应变向量增量的新关系，这种关系称为弹塑性应变增量理论[1，5]。1.4应力应变关系如果结