操作探究性问题

宇轩图书专题四操作探究型问题宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练近年来，中考数学试题加强了对动手操作能力的考查，这类试题能够有效地考查实践能力、创新意识和直觉思维能力．解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练1．利用图形的变换作图(1)利用平移：把一个图形沿一定方向平移一定距离．(2)利用旋转：把一个图形绕一个定点旋转一定角度．(3)利用轴对称：作出一个图形的轴对称图形．(4)利用位似：把一个图形按照一定的比例放大或缩小．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练温馨提示：利用图形的变换作图是近几年中考的热点和重点，关键是掌握各种变换的特征.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练2．设计测量方案对于较高不能直接测量或有障碍物不能直接进行测量的物体，利用所学数学知识，设计测量方案，得出测量结果．温馨提示：设计与生活密切相关的测量方案，是中考的热点，注意平时对实际操作能力的培养.解决测量问题常构造直角三角形，利用锐角三角函数等知识解决.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练3．动手操作题动手操作题可分为图形折叠型动手操作题、图形拼接型动手操作题、图形分割型动手操作题和作图型动手操作题等类型．类型一：图形折叠型动手操作题图形折叠型动手操作题就是通过图形的折叠来研究它的相关结论．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练类型二：图形拼接型动手操作题图形拼接问题就是将已知的若干个图形重新拼接成符合条件的新图形．类型三：图形分割型动手操作题图形分割型动手操作题就是按照要求把一个图形先分割成若干块，然后再把它们拼接成一个符合条件的图形．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练类型四：作图型动手操作题作图型动手操作题就是通过平移、对称、旋转或位似等变换作出已知图形的变换图形．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练考点一变换作图例1(2014·南宁)如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；(3)在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练【点拨】(1)作出各个顶点平移后的对应点，再顺次连接；(2)作出各个顶点关于原点的对称点，再顺次连接；(3)作出点B关于x轴的对称点B3，再连接AB3，与x轴交于点P.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练解：(1)如图，得到△A1B1C1；宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练(2)如图，得到△A2B2C2；宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练(3)如图，作点B关于x轴的对称点B3，连接AB3与x轴的交点为P，此时△PAB的周长最小，点P的坐标是(2,0)．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练方法总结：找出图形中的关键点，作出关键点变换后的对应点，再按照原图顺次连接各对应点.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练考点二分割与剪拼例2(2014·河北)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠()A．2B．3C.4D．5宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练【点拨】如图①，当n＝2时，要沿对角线进行分割，但不能拼成正方形；如图②，取矩形一条长边的中点，将矩形分成如图所示的3个三角形，可拼成符合要求的正方形；宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练如图③，取矩形两长边的中点，把矩形分成如图所示的4个三角形，能拼成符合要求的正方形；宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练如图④，把图③中的任意一个三角形分成2个三角形，宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练即把矩形分为5个三角形，能拼成符合要求的正方形．综上所述，只有当n＝2时，不能拼成符合要求的正方形．故选A.【答案】A宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练一、选择题(每小题4分，共20分)1．(2014·绍兴)将一正方形纸片，按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是()宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练解析：通过动手操作可知剪掉后的四边形为对角线不等的菱形，且长对角线垂直正对原正方形的下底边．故选B.答案：B宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练2．如图，将一张正方形纸片剪成4个小正方形，称为第一次操作；宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练然后，将其中的一个正方形再剪成4个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成4个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；……；根据以上操作，若要得到2014个小正方形，则需要操作的次数是()A．670B．671C．672D．673宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练解析：第n次操作可得(3n＋1)个小正方形，令3n＋1＝2014，解得n＝671，即需要操作671次．故选B.答案：B宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练3．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是()A．12B．24C．123D．163宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练解析：在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠FEB′＝∠EFB＝60°，∠AEF＝180°－FEB′＝120°.根据翻折变换的性质∠FEA′＝∠AEF＝120°，∴∠A′EB′＝∠FEA′－∠FEB′＝120°－60°＝60°.在Rt△A′EB′中，A′B′＝EA′·tan∠A′EB′＝2×tan60°＝2×3＝23，∴AB＝A′B′＝23，因此，矩形ABCD的面积＝AD·AB＝(AE＋ED)·AB＝(2＋6)×23＝163.故选D.答案：D宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练4．将一边长为2的正方形纸片折成四部分，再沿折痕折起来，恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥，则三棱锥四个面中最小的面积是()A．1B.32C.12D.23宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练解析：如图，点E，F分别为边AB，AD的中点，沿图中虚线折叠，恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥，此时三棱锥四个面中最小的面是△AEF，其面积＝12AE·AF＝12×1×1＝12.故选C.答案：C宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练5．如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A、点D在BC异侧，连接AD，量一量线段AD的长，约为()A．2.5cmB．3.0cmC．3.5cmD．4.0cm宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练解析：实际操作量一量，可得AD约为3.0cm.故选B.答案：B宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练二、填空题(每小题5分，共10分)6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D是BC边上的点．CD＝1.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处．若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是.解析：由题意知，点C与点E关于直线AD对称，CD＝ED＝1，PC＝PE.当动点P移至点D的位置时，P，C，B三点在同一直线上，此时PE＋PB＝DC＋DB最小，即△PEB的周长最小．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练在Rt△DEB中，∵∠DEB＝90°，∠DBE＝60°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝DE·tan30°＝1×33＝33，DB＝2BE＝233.∴△PEB的周长＝DE＋DB＋BE＝1＋233＋33＝1＋3.答案：1＋3宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练7．(2014·上海)如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为(用含t的代数式表示)．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练解析：如图，连接BD′，根据图形翻折可知EC′＝EC，宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练∴在Rt△BC′E中，BE＝2CE＝2C′E，可得∠EBC′＝30°，∠BGD′＝60°，∵AD∥BC，∴∠AFG＝∠FGE＝60°，∴∠EFG＝12(180°－∠AFG)＝12×(180°－60°)＝60°，∴△EFG为等边三角形．∵AB＝t，∴EF＝tcos30°＝233t，∴△EFG的周长为23t.答案：23t宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练三、解答题(共50分)8．(16分)正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝b(b2a)，且边AD和AE在同一直线上．小明发现：宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练当b＝a时，如图①，在BA上选取中点G，连接FG和CG，移动△FAG和△CBG的位置可构成正方形FGCH.图①宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练(1)类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．图②图③宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练(2)要使(1)中所剪拼的新图形是正方形，须满足BGAE＝12.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练解：(1)如图所示．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练(2)∵△FAE是等腰直角三角形，∴∠FAE＝∠FEA＝45°，∴∠FAB＝∠FEH＝135°.∵∠AFG＋∠GFE＝∠HFE＋∠GFE＝90°，∴∠AFG＝∠HFE.在△FAG与△FEH中，∠FAG＝∠FEH，AF＝EF，∠AFG＝∠EFH，∴△FAG≌△FEH，宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练同理可证△BGC≌△DHC；∴BG＝DH，AG＝EH.由于AE＋EH－DH＝AD，即b＋AG－BG＝a，而AG＋BG＝a；∴2BG＝b，即BGAE＝12.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练9．(16分)(2014·绍兴)(1)如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG.求证：EF＝FG.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练(2)如图②，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°.若BM＝1，CN＝3，求MN的长．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练温馨提示：解答第(2)题时，回忆一下第(1)题的解答方法．分析：(1)先利用“SAS”证明△ABE≌△ADG，再利用“SAS”证明△AEF≌△AGF，即可证明EF＝FG；(2)仿照(1)，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，证明△ANM≌△AND，这样就将在同一条直线上的三条线段BM，MN，NC转化在Rt△CDN中，最后由勾股定理即可求得MN的长．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADF＝∠ADG＝∠BAD＝90°.又∵BE＝DG，∴△ABE≌△ADG.∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练∴∠BAE＋∠FAD＝45°.∴∠DAG＋∠FAD＝45°，即∠FAG＝∠FAE＝45°.又∵AF＝AF，∴△AFE≌△AFG.∴EF＝FG.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析考点训练(2)如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，则CD＝BM＝1，AM＝AD，∠B＝∠ACB＝∠ACD