李胜红探讨转化思想在高中数学解题中的应用

1探讨转化思想在高中数学解题中的应用李胜红河北省大城县第一中学【摘要】“转化思想”是中学数学思想方法的重要思想之一，在中学数学学习中占有很重要的地位。数学学习中的转化思想,就是要把新的知识转化成已经学过的知识,把较为复杂的知识转化为简单的知识,从而解决问题的方法。本文对高中数学各部分知识中的转化思想的应用进行初步的探讨，强化转化思想在高中数学解题中的应用。【关键词】高中数学：转化思想；应用；数学思想方法。【正文】数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法，其中“转化思想”是中学数学思想方法的重要思想之一。数学学习中的转化思想,就是要把新的知识转化成已经学过的知识,把较为复杂的知识转化为简单的知识,从而解决问题的方法。转化思想的本质特征是知识和方法的迁移，转化思想可以减化运算、开拓思路，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。新课标下高中数学衔接上呈现“起点高、难度大、容量多、课时紧”的特点,学生学习不适应现象突出,困难重重,师生更应该强化数学思想方法,重视思想方法的教学与应用，只有从思想方法入手，才能教会学生如何学习数学。下面就转化思想在圆、椭圆、立体几何、导数、三角函数五部分知识中的应用进行初步的探讨，以提高学生解题的水平和能力。一、圆中的转化思想例1．圆254)3(:221yxC,圆),(251)12()113(:222222RtttyttxC过圆C2上任意一点作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，设PM与PN夹角的最大值为，则（）A.6B.3C.2D.的取值有关与t解析：设,2sin,2111PCMCMPC因为,521MC所以1PC越小，PM与PN的夹角越大,将问题转化为求点C1（3，0）与圆C2上任意一点P的最小距离。2例2．已知动点P（x，y）在椭圆1162522yx上，若A点坐标（3,0），,0,1AMPMAM且求的最小值PM。解析：由勾股定理可知12PAPM，只需求圆心（3，0）到椭圆上点的距离的最小值。[评析]在直线与圆的位置关系中，点到直线距离、勾股定理是同学们所熟知的公式，但学生对题目中出现的两切线的夹角问题、切线长问题却不熟悉，通过转化思想将求夹角最大值问题转化为求两点间距离最小问题，将求切线长问题转化为求圆心到椭圆上点的距离最小问题。二、圆锥曲线中的转化思想例3．过抛物线y2=2px（p0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若,62BFAF则p=解析：过A,B,F分别向准线做垂线AABB,,FF根据抛物线定义，6,3AFAABFBB。根据三角形相似，解得p=4。例4．已知动点P（x，y）在椭圆13422yx上，F1、F2为椭圆的左右焦点，点A（1,1）在椭圆内部，求2PFPA的最大值和最小值。解析：根据椭圆定义421PFPF，可得124PFPAPFPA，转化为求1PFPA的最值问题。例5．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为1322yx，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为63)3cos(2。求椭圆上点到直线距离的最大3值和最小值。解析：椭圆1322yx的参数方程为为参数,sincos3yx，直线的普通方程为0633yx，椭圆上点Psin,cos3到直线的距离d=263sin3cos3263)4cos(6，转化为三角函数求最值问题，最大值为62，最小值为6[评析]圆锥曲线的选择、填空题思路大多数是应用定义转化。在抛物线中若条件是点到焦点距离，就要转化成点到准线距离，而条件是点到准线距离，就要转化成点到焦点距离；在椭圆或双曲线中，点到左焦点的距离与点到右焦点的距离可以互化。当遇到椭圆内求最值问题时，也可利用椭圆的参数方程转化为三角函数求最值问题。三、立体几何中的转化思想例6．如图，平面,,两两互相垂直，长为7的线段AB在,,内的射影的长度分别为,,,6ba则a+b的最大值为。解析：以AB为体对角线构造长方体，则,,,6ba分别为三侧面的面对角线长度。由基本不等式可知4ba。例7．若三棱锥的各棱长均为3，则其外接球的表面积为。解析：以三棱锥的各棱为对角线构造正方体，正方体的外接球即为三棱锥的外接球。例8．已知三棱锥A-BCD，AB=CD=3,AC=BD=4,AD=BC=22,求三棱锥A-BCD的外接球的半径。解析：以三棱锥的各棱为对角线构造长方体，长方体的外接球即为三棱锥的外接球。长方体的体对角线是其外接球的直径。4例9．如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，上一动点，是11.2,6,90BCPCCBCACACB1PACP则的最小值为。解析：在几何体中，要求线段之和最短，需要将几何体的侧面展开，利用展开图中两点连线的距离求线段之和最短。因为上的点，是1BCP以1BC为轴，将侧面1BCC展到与平面11BCA共面的位置，则CA1即为所求。[评析]在立体几何题中，三棱锥是最常见的几何图形之一，若三棱锥中有两两垂直的三条棱，或三组对棱相等时，我们可以通过构造正方体或长方体来求解；在解决立体图形中线段之和最短问题时，可利用几何体的侧面展开图，将空间两线段长度和转化为平面图形中两点连线来求解。四、导数中的转化思想例10．已知函数,ln)(2xaxxf（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；(2)若，在12)()(xxfxg上是单调增函数，求实数a的取值范围。解析：（2）导函数的正负决定了原函数的增减，若，在12)()(xxfxg上是单调增函数，则，在1022)(2xxaxxg上恒成立，即222xxa。通过构造新函数)(xF222xx，求F（x）在,1x上的最大值来确定实数a的取值范围。例11．设函数,ln21)(2xxaxf其中a为大于0的常数。（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若存在2)(2,100xfx，使不等式成立，求实数a的取值范围。解析：（2）2ln21)(2xxaxf在2,1x上成立，即xxaln222。构造新函数xxxFln2)(2，若存在，使不等式2,10xxxaln222成立，即a2)(xF在52,1x的最大值。通过求F（x）在2,1x上的最大值来确定实数a的取值范围。[评析]导数习题中，“恒成立问题”与“存在问题”是两类常见题型。)(xfa在定义域上恒成立，即)(xfa的最大值；)(xfa在定义域上恒成立，即)(xfa的最小值。若存在x0属于定义域，)(0xfa成立，即)(xfa的最小值；若存在x0属于定义域，)(0xfa成立，即)(xfa的最大值。将导数中的“恒成立问题”与“存在问题”转化为求最值问题，避免对含参不等式的讨论，简化运算，是一种很实用的解题方法。例12．已知f(x))(Rx满足f(1)=1,且f(x)在R上的导数，21)(xf求不等式21lg)(lgxxf的解集。解析：因为，021)(xf构造新函数xxfxF21)()(。通过新函数在定义域上为减函数来解不等式。例13．已知)(xf是定义在,上的函数，导函数)(xf满足)(xf)(xf对于Rx恒成立，则A.),0()2(2fef)0()2012(2012fefB.),0()2(2fef)0()2012(2012fefC.),0()2(2fef)0()2012(2012fefD.),0()2(2fef)0()2012(2012fef解析：因为不等式)(xf0)(xf，构造新函数xexfxF)()(。通过新函数在定义域上为减函数来比较大小。[评析]当题目中出现与)(xf有关的式子且又无法判断)(xf的正负时，需要变换条件形式构造新函数，让新函数的导数是题目中所给条件，通过新函数的单调性来解不等式或比较大小。五、解三角形中的转化思想例14．在△ABC中，CBACAB)3(,则角A的最大值为。解析：因为CBACAB)3(，所以0)3(CBACAB，即03CBACCBAB，0cos3cosCabBac由余弦定理可知60232222222abcbaabacbcaac02224222bca可得2222bca。再由余弦定理求解角A的最大值。例15．ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，,2cossinsin2aAbBAaab则解析：利用正弦定理RCcBbAa2sinsinsin进行边角互化,AABBAAsin2cossinsinsinsin2。[评析]在解三角形的问题中，若条件出现边a、b、c（或CBAsinsinsin、、）的关系时，只要等式两边a、b、c（或CBAsinsinsin、、）的次数相同，就可以通过正弦定理直接把a、b、c（或CBAsinsinsin、、）替换成CBAsinsinsin、、（或a、b、c）。若条件出现CBAcoscoscos、、时，可以通过余弦定理替换成边a、b、c的关系。俗话说“授人以鱼不如授之以渔”，中学数学思想方法就是钓鱼的杆，捕鱼的网。在高中数学教学中，教师要引导学生将复杂的知识转化为简单的知识，将未知的知识转化为已知的知识，不断培养和训练学生自觉的转化意识，强化转化思想在解题中的应用，提高学生在解决数学问题中的独立思考能力、应变能力、思维能力，和解题的技能、技巧。