改后第四章概率论习题_奇数答案1

第四章概率论习题__奇数.doc1某批产品共有M件，其中正品N件（0NM）。从整批产品中随机的进行有放回抽样，每次抽取一件，记录产品是正品还是次品后放回，抽取了n次（1n）。试求这n次中抽到正品的平均次数。解每次抽到正品的概率为：NM，放回抽取，抽取n次，抽到正品的平均次数为：NnM3设随机变量X的概率密度为21,1fxxRx，这时称X服从标准柯西分布。试证X的数学期望不存在。解由于：20201()2ln(1)|(1)xxfxdxdxxx所以X的数学期望不存在。5直线上一质点在时刻0从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位，若每次移动是相互独立的，并且向右移动的概率为p（01p）。n表示到时刻n为止质点向右移动的次数，nS表示在时刻n时质点的位置，1n。求n与nS的期望。解每次向右移动的概率为p，到时刻n为止质点向右移动的平均次数，即n的期望为：()nEnp时刻n质点的位置nS的期望为：()(1)(21)nESnpnpnp7某信号时间长短T（以秒计）满足：112ttPTtee，0t。用两种方法求出ET。解方法1：由于(0)1PT，所以T为非负随机变量。于是有：00013()(1())()(1)24ttETFtdtPTtdteedt方法二：由于(0)1PT，所以，可以求出T的概率函数：0,0()1(12),02tttfteet于是03()()()4Ettftdttftdt9已知一根长度为1的棍子上有个标志点Q，现随机的将此棍子截成两段。（1）求包含Q点的那一段棍子的平均长度（若截点刚好在Q点，则认为Q包含在较短的一截内）；（2）当Ｑ位于棍子何处时，包含Ｑ点的棍子平均长度达到最大？解设棍子上的点是在[0,1]之间的，Q点的位置距离端点0的长度为q。设棍子是在t点处跌断，t服从[0,1]的均匀分布。于是：包含Q点的棍子长度为T，则：,11,0min(,1),tqtTttqqqtq，1qt于是包Q点的那一段棍子的平均长度为：112001()(1)2qqETTdxtdttdtqq11、为诊断５００人是否有人患有某种疾病，抽血化验。可用两种方法：（Ｉ）每个人化验一次；（II）分成ｋ人一组（共５００／ｋ组，假设500k为正整数，1k）。将每组ｋ人的血样集中起来一起检验，如果化验结果为阴性，则说明组内的每人都是阴性，就无需分别化验。若检验结果为阳性，则说明这ｋ人中至少有一人患病，那么就对该组内的ｋ人再单独化验。如果此病的得病率为３０％，试问哪种方法的检验次数相对少些？解(I)每个人化验一次，需要化验500次（II）分成k组，对每一组进行化验一共化验500k次，每组化验为阳性的概率为：10.7k，若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要k次，于是该方法需要化验的次数为：500(1(10.7))kkk。将（II）的次数减去（I）的次数，得：5001(1(10.7))500500(0.7)kkkkk于是：当10.70kk时，第二种方法检验的次数少一些；当10.70kk时，第一种方法检验的次数少一些；当10.70kk时，二种方法检验的次数一样多。13、某电子监视器的圆形屏幕半径为r（0r），若目标出现的位置点Ａ服从均匀分布。设Ａ的平面直角坐标为,XY。（１）求()EX与()EY；（２）求点Ａ与屏幕中心位置0,0的平均距离。解由题意知：21,,(,)0xyfxyr在圆内，其他值，2,()0Xrxrfxr，其他值，2,()0Yryrfxr，其他值（1）计算可得2()()0rrEXEYxdxr（2）A的位置是,xy，距中心位置（0，0）的距离是：22xy，于是所求的平均距离为：2222222212()3xyrrEXYxydxdyr15、接第13题，求当横坐标为32r时，纵坐标Y的条件期望。解2222|1,(,)(|)2()0YXXrxyrxfxyfyxrfx，其他值|31(,),32(|)222230()2YXXrrrfyyrfyrrf，其他值于是：2231(|)022rrrEYXydyr17、某技术考试，成绩必为0,1，…，10这11个数之一，而且考生取得每个成绩的可能性相同。第一次考试，若考生成绩为X，然后需继续参加下一次考试，直到他获得的成绩Y不低于第一次考试为止。记第一次考试后，又进行了Z次才通过第二次考试。由于每次考题都是在题库中随机抽取的，所以所有考试均相互独立。（1）求最终的平均成绩EY；（2）求EZ。解：由题意知1()11PXk，其中0,1,2,10k。于是(,)0,1,,11PYkXiik11(,)()(|),0,1,,1111PYkXiPXiPYkXiiki从而0011()(,)1111kkiiPYkPYkXii于是：10001()7.511kkiEYki又11011(11)()11kkiiiPZk从而10111()()3.02(11)kiEZPZkki19、随机变量X服从Gamma分布，概率密度函数为1xfxxe，0x，其中，0称为“形状参数”，0称为“尺度参数”。求kEX（1k）和DX。解10()(),(1)()()akkxkkEXxxedxk211222200(2)(1)()[][]()()()()aaxxDXxxedxxxedx21、机器处于不同状态时制造产品的质量有所差异。如果机器运作正常，则产品的正品率为98%；如果机器老化，则产品的正品率为90%；如果机器处于需要维修的状态，则产品的正品率为74%。机器正常运作的概率为0.7，老化的概率为0.2，需要维修的概率为0.1.先随机抽取了100件产品（假设生产这些产品的机器的状态相互独立），求（1）产品中非正品数的期望与方差；（2）在已知这些产品都是正常机器制造出来的条件下，求正品数的期望和方差。解(1)设p表示从产品取到非正品的概率，于是有：(198%)*0.70.2*(190%)0.1*(174%)0.06p，用X表示产品中非正品数，X服从二项分布B(100，0.06)，有：1000()()1000.066kEXkPXk()100(1)5.64DXpp（参考77页的例4.2.5）（3）用Y表示在该条件下正品数，Y服从二项分布B(100,0.98)，于是()1000.9898EY()1000.98(10.98)1.96DX23、设随机变量X和Y独立，且方差存在，证明：22()()()(())()(())()DXYDXDYEXDYEYDX解证明：22222222222222()(())(())()(())()()(()())(,()())((())()()()()(())()(())()DXYEXYEXYEXYEXYEXEYEXEYXYDXEXDYEYEXEYDXDYEXDYEYDX由于相互独立)=(25、接第20题，（1）求X与X的相关系数，并判断两者是否相关；（2）判断X与X是否独立？解（1）由相关系数的定义，得：(,)()()XXCovXXDXDX，其中(,)()()()CovXXEXXEXEX通过计算得(,)0CovXX，即0XX，从而说明,XX是不相关的。（2）很显然，XX与不是相互独立的。27、随机三角形ABC，角A与角B独立同分布，其分布律均为A/3/4/6P1其中0，0，且满足1。已知3221sin(cos)8EAEA。（1）写出,AB的联合分布律；（2）求sinEC；（3）求角A与角C的相关系数，并由此判断它们的相关性（若相关，要求说明是正相关还是负相关）。解（1）由题意得：()(1)3466612EA(sin)sinsinsin6612EA，(cos)coscoscos6612EA结合已知条件，可求出：14，12由于A和B是独立同分布的，于是（A,B）的联合分布律为：AB346P(A=i)31/161/81/161/441/81/41/81/261/161/81/161/4（2）2(sin)(sin())(sincos)(cossin)3221(sin)(cos)(cos)(sin)2[]0.9668ECEBAEBAEBAEBEAEBEA（3）(,)()()ACCovACDADC，其中(,)(,)(,)ov(,)(,)()CovACCovAABCovAACABCovAADA()()()()2()DCDABDADBDA所以：(,)1()()2ACCovACDADC，说明A和C是负相关的。29、设~(0,1)XN，Y的可能取值为1，且1PYp（01p），若X和Y相互独立，并记XY。（1）证明：~(0,1)N；（2）计算X，并判断X与的相关性和独立性。解（1）证明：由于X和Y相互独立，于是由题意得()()()()0EEXYEXEY222()()()()(())()(())()4(1)(21)1DDXYDXDYEXDYEYDXppp从而有~(0,1)N（2）222(,)(,)(,)()()()()()()()()()()21XCovXCovXCovXXYEXYEXEXYDXDEXEYEXEYEYp当12p时，X和是不相关的；当12p，即0XC时，说明X和是正相关的当12p，即0XC时，说明X和是负相关的显然，X和是不独立的31、求参数为的泊松分布的众数。解（1）泊松分布的表示式为：(),0,1,!kePXkkk，于是通过计算有：(1)()1PXkPXkk故：1,1(1)1,1()1,1kPXkkPXkk当当当因此若为正整数，则众数为和-1；当不为正整数时，则众数为的整数部分[]。33、三元正态变量123,,,XXXXNaB，其中0,0,1a，1212160104B。（1）写出X的每个分量的分布；（2）判别1X，2X，3X的相关性与独立性；（3）若112YXX，231YXX，求12,YYY的分布。解（1）由题意可知：11()1,()0DXEX，说明1~(0,1)XN11()1,()0DXEX，说明2~(0,16)XN33()4,()1DXEX，说明3~(1,4)XN（2）对于二维正态而言，两变量不相关等价于两变量独立。由于12(,)20CovXX，所以1X与2X相关且不独立由于13(,)10CovXX，所以1X与3X相关且不独立由于32(,)0CovXX，所以3X与2X不相关且独立从而（由88页性质4）可以判断出1X，2X与3X不相互独立（3）计算有112()()0EYEXX，231()()1EYEXX111212112212(,)(,)(,)(,)2(,)13CovYYCovXXXXCovXXCovXXCovXX1212311