材料力学第六章习题选及其解答

6-2.用积分法求图示各梁的挠曲线方程、自由端的挠度和转角。设EI=常量。解：（1）列弯矩方程)2,[)()(],0[)(222221111aaxaxPPxxMaxPxxM（2）挠曲线近似微分方程)()('')(''222221111axPPxxMEIyPxxMEIy（3）直接积分两次2222221211)(22'2'CaxPxPEIyCxPEIy22232322111311)(666DxCaxPxPEIyDxCxPEIy（4）确定积分常数边界条件：0',0:2222yyax光滑连续条件：'',:212121yyyyaxx求解得积分常数3212212725PaDDPaCC梁的挠曲线方程和转角方程是PaaPABCb)Px1PABCx2222222221125)(22'252'PaaxPxPEIyPaxPEIy322323223123112725)(6627256PaxPaaxPxPEIyPaxPaxPEIy（5）自由端的挠度和转角令x1=0：EIPayEIPay25',2721316-4.求图示悬臂梁的挠曲线方程，自由端的挠度和转角。设EI=常量。求解时应注意CB段内无载荷，故CB仍为直线。解：（1）求约束反力PaMPRAA（2）列AC段的弯矩方程],0()(axPaPxxM（3）挠曲线近似微分方程PaPxxMEIy)(''（4）直接积分两次DCxxPaxPEIyCPaxxPEIy232262'alPABCa)xPABCRAMA（5）确定积分常数边界条件：0':0yyx得积分常数：0DC（6）AC段的挠曲线方程和转角方程232262'xPaxPEIyPaxxPEIy（7）C截面的挠度和转角令x=a：EIPayEIPayCC3232'（8）自由端的挠度和转角梁的变形：BC段保持为直线，则)3(6)(222alEIPaalyyEIPaCCBCBθθθ6-6.用积分法求梁的最大挠度和最大转角。在图b的情况下，梁对跨度中点对称，可以只考虑梁的二分之一。解：（1）求约束反力l/2PABCa)l/2EI2EIPABCyCθCθCθByB直线段PlMPRAA（2）弯矩方程],2/[)(]2/,0()(222111llxPlPxxMlxPlPxxM（3）挠曲线近似微分方程PlPxxMEIyPlPxxMEIy22221111)('')(''2（4）直接积分两次222232211213112222211211262622'2'2DxCxPlxPEIyDxCxPlxPEIyCPlxxPEIyCPlxxPEIy（5）确定积分常数边界条件：0',0:0111yyx光滑连续条件：'',:2/212121yyyylxx求解得积分常数32122124101630PlDDPlCC梁的挠曲线方程和转角方程是2222212111632'2'2PlPlxxPEIyPlxxPEIyPABCX2RAMAX1322223222131124116326262PlxPlxPlxPEIyxPlxPEIy（6）最大挠度和最大转角发生在自由端令x2=l：EIPlyEIPly165',1632max3max6-8.用叠加法求图示各梁截面A的挠度和截面B的转角。EI=常量。图a和d可利用题6-4中得到的结果。解：a）（1）P单独作用时EIPlEIlPEIPlEIlPyPBPA82)2(243)2(22)33)θ（2）Mo单独作用时EIPlEIlPlEIPlEIlPlyMoBMoA2)32)82)2(θ（3）P和Mo共同作用时EIPlEIPlyyyMoBPBBMoAPAA8962))3))θθθc）（1）求yAPl/2l/2M0=PLABa)ABql/2l/2c)查表得EIqlyA38454)1(由叠加知)2()1(AAAyyy其中有关系)2(AAyy由此得EIqlyyAA7685214)1(（2）求θB由微力qdx引起dθBEIqldxEIlxxlqddxEIlxxlqEIlxlxlxqdxdlsBBB38476)(6)(6))(()(3203232θθθ6-9.用叠加法求图示外伸梁外伸端的挠度和转角，设EI为常量。解：（1）分解成简单载荷ABP=qaqac)aaCDABq(1)ABq(2)ABqxdx（1）分别求出简单载荷作用时外伸端的变形转角EIqaEIaqaEIqaEIqaEIaqaDBBDB332216416)2(32)3()3(3)2(32)1()1(θθθθθ挠度EIqaayEIqayEIqaayDBBDB3844)3()3(4)2(4)1()1(θθ（2）叠加EIqayyyyEIqaBBBBBBBB24544)3()2()1(3)3()2()1(θθθθ6-10.桥式起重机的最大载荷为P=20kN。起重机大梁为32a工字钢，E=210GPa，l=8.7m。规定[f]=l/500，试校核大梁刚度。ABP=qaa(1)aaCDABqa(2)aaCDABqaa(3)aaCDqa2/2qaqa2/2解：（1）当起重机位于梁中央时，梁变形最大；计算简图为（2）梁的最大挠度发生在C截面EIqlEIPlyyyyqCPCC38454843)()(max（3）查表得（32a工字钢）mNmkgqcmI/6.516/717.52111002（4）刚度计算mlfmy0175.0500][0137.00017.0012.0max梁的刚度足够。6-12.磨床砂轮主轴的示意图如图所示，轴外伸部分的长度a=100mm，轴承间距离l=350mm，E=210GPa。Py=600N，Pz=200N。试求外伸端的总挠度。解：（1）将载荷向轴线简化得计算简图进一步简化（不考虑Mx引起的扭转变形）lBPAlPyPzaφ80l/2BPAl/2qCPyPzRMxMxRABC分解载荷其中NmaRMNPPRZy25.635.63222（2）计算外伸端的挠度mmaEIMlEIRayyyMBRBB663)()(1025.210)75.15.0(336-14.直角拐的AB杆与AC轴刚性连接，A为轴承，允许AC轴的端截面在轴承内转动，但不能移动。已知P=60N，E=210GPa，G=0.4E。试求截面B的垂直位移。解：（1）分析变形：AB发生弯曲变形，AC发生扭转变形；（2）计算A、C相对扭转角ppACGIACABPGIACTφ由此引起B截面的垂直位移（向下）mmdGACABPABACB05.23242)1(πφδ（3）计算AB变形引起B截面的位移（向下）mmEIABPB17.633)2(δ（4）计算B截面的总体位移（向下）mmBBB22.8)2()1(δδδABC500300P105φ20RABCRABCRMM6-26.图示悬臂梁的EI=30×103N·m2。弹簧的刚度为175×103N·m。梁端与弹簧间的空隙为1/25mm。当集中力P=450N作用于梁的自由端时，试问弹簧将分担多大的力？解：（1）受力分析属一次静不定问题（2）分析变形B截面的向下的位移值EIlRPyB3)(3弹簧变形cRΔ变形几何关系Δ1025.13By（3）弹簧受力NR6.826-27.图示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为EI=24×106N·m2，由钢杆DC相连接。CD杆l=5m，A=3×10-4m2，E=200GPa。若P=50kN，试求悬臂梁AD在D点的挠度。750P1.25ABPABR1.25BΔ解：（1）解除约束C，受力分析（2）分析C处的位移（向下位移为负）情况1）中，C处位移由AD的弯曲变形和CD的的拉伸变形引起EAlREIaRCCC33)1(δ情况2）中，C处位移分别由P和R’C作用引起EIaRaaEIPaCC3')23(632)2(δ其中CCRR'（3）变形谐调关系)2()1(CCδδ（4）求约束力kNRC5.45（5）求梁AD在D点的挠度mmEIaRyCD56.033BPADCE2m2mBPADCECRCR’C1)2)方向向下6-28.钢制曲拐的横截面直径为20mm，C端与钢丝相接，钢丝的A=6.5mm2。曲拐和钢丝的弹性模量同为E=200GPa，G=84GPa。若钢丝的温度降低50oC，且=12.5×10-6/oC，试求钢丝内的拉力。解：（1）解除约束C，受力分析（2）分析C处的位移（向下位移为负）情况1）中，C处位移由AB的弯曲变形、扭转变形和BC的弯曲变形引起EIRGIREIRCpCCC33.03.06.0)3.0(3)6.0(33)1(δ情况2）中，C处位移分别由温度改变和R’C作用引起EARtCC4'Δ4)2(αδ其中CCRR'（3）变形谐调关系ABC0.6m0.3m4mDABCDCRCR’C1)2))2()1(CCδδ（4）求约束力NRC16.26