条件分布在生活中的应用1

1.本课题研究的目的和意义：随着时代的进步以及科学的发展,数学在生活中的应用越来越广泛，而概率论作为随机数学的理论基础，也逐渐被大家重视并发展起来。我们学习了概率论的五个主要内容，在第一章概率论的基本概念中，我们知道了条件概率的概念，这是对随机事件而言的，在本课题中，我们要讨论的是研究随机变量的条件分布。由于在许多问题中有关的变量往往都是相互影响的，这让条件分布成为研究变量之间相依关系的一个有力工具，从而解决一些有关随机变量的问题，例如对下月客户订单的预算、工作中加班的合理性等等。同时经过学习，当面对同一个问题时，我们可以从随机事件这个角度考虑解决方案，也可以通过随机变量这个角度来考虑，进一步锻炼我们的思维能力。2、国内外同类课题的研究现状大规模地开展有关概率论这门学科历史的研究开始于20世纪50年代中期，在经过半个世纪的发展之后，国外有关概率的研究已积累了相当丰硕的果实。随着科学技术的不断发展，概率论已被广泛地应用到各个科学分支各个生产部门。在物理方面，放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶的经济理论扥问题的研究都要用到泊松过程和更新理论。许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，存货控制，等等都应用概率模型来描述。在社会科学领域，特别是经济学中的研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采用概率统计方法。在这些方面中，因为随机变量的相互影响，必然会考虑在一个随机向量确定时，其他随机变量的变化。3、本课题研究的主要内容（1）条件分布的概念（2）二维离散型、连续型随机变量的条件分布（3）条件分布在生活中的应用4、本课题的研究方法（1）研究条件分布的相关内容，通过搜集整理相关的概念，公式及相关研究文献资料。（2）理论与实践相结合，更深刻地认识条件分布。5、进度安排（1）选定课题（2013年12月18日）（2）收集资料（2014年1月1日—2014年2月17日）（3）完成开题报告（2014年2月18日—2014年2月24日）（4）完成初稿（2014年2月25日—2014年3月25日）（5）中期检查（2014年3月26日—2014年4月26日）（6）形成终稿（2014年4月26日—2014年5月15日）参考文献[1]林正炎，苏中根.概率论[M].第二版.浙江:浙江大学出版社,2001.1-119.[2]繆铨生.概率与统计[M].第三版.上海:华东师范大学出版社,2007.149-178.[3]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2001.[4]潘佩.概率中混淆概念的对比与思考[J].高中数学教与学,2007.[5]冯泰,刘德萌.条件概率与条件分布[J].中国远程教育,1985,10.[6]宋占杰.应用概率统计[M].第三版.天津:天津大学出版社,2007.[7]王松桂,张忠占，程伟虎，高旅端.概率论与数理统计[M].第二版.北京:科学出版社,2004.[8]张颖,许伯生.概率论与数理统计[M].上海:华东理工大学出版社,2007.指导教师审查意见：指导教师___________年月教研室（研究室）评审意见：____________教研室（研究室）主任____________年月院（系）审查意见：___________院（系）主任____________年月学士学位论文题目学生姓名指导教师年级系别专业学院学校2014年4月目录摘要.................................................1关键词................................错误!未定义书签。引言..................................错误!未定义书签。一、条件分布.........................................2（一）条件分布的定义..................错误!未定义书签。（二）二维离散型随机变量的条件分布....................3（三）二维连续型随机变量的条件分布....................4二、条件分布在生活中的应用............................5（一）条件分布在经济预算中的应用......................5（二）条件分布在刑侦破案中的应用......................7（三）条件分布在劳动生产中的应用......................8总结................................................10英文摘要............................................11第1页共17页浅谈条件分布在生活中的应用摘要：随着时代的进步以及科学的发展,数学在生活中的应用越来越广泛，而概率论作为数学的一个重要组成部分，也逐渐发展起来并广泛应用于各个领域.条件分布研究了不同随机变量的关系，本课题中先说明了条件分布的基础概念，然后就二维随机变量中的离散型随机变量及连续型随机变量的条件分布分别作了简单的介绍，最后从经济预算，刑侦破案，劳动最优化来体现条件分布在生活中的应用。关键词：条件分布；随机变量；应用引言概率是一门与生活联系紧密的学科同时也是一门相当有趣的数学分支学科，数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，而后发展成完整的数学分支。除了分析学这一大系统之外，概率论就是这一时期使欧几里得几何相形见绌的几个重大成就之一。在概率论的基本概念中，我们学习了条件概率，它是第2页共17页对随机事件而言，所谓随机事件就是试验中的样本空间的特定子集。当这一子集中的一个样本点出现时，称为这一事件发生。而我们探讨的条件分布是对于随机变量而言的。设随机试验的样本空间为，对于，有唯一的实数）（X与之对应，这样就得得到一个实值单值函数）（X，若RB，B}X|{）（是事件，）（X就为随机变量。简单说，随机向量是样本空间上可求概率的函数。在之前的学习中，我们研究探讨了联合概率分布，边缘概率分布，那么本课题将研究条件概率分布。第一章条件分布（一）条件分布的定义在其中一个随机变量X取得(可能的)固定值的条件下,另一随机变量Y的概率分布.这样得到的Y的概率分布叫做Y的条件概率分布，简称Y的条件分布．同理，可定义X的条件分布。例如：考虑一大群人，从其中随机挑选一人，分别用X和Y记录此人的体重和身高，则X和Y都是随机变量，它们都有自己的分布。现在如果限制Y取值从1.5米到1.6米之间，在这个限制下求X的条件分布。第3页共17页就意味着要从这一大群人中把身高在1.5米到1.6米之间的人都挑出来，然后在这些挑中的人群中求其体重的分布，可以想到，这个分布和不设这个限制的分布会不一样，因为我们的条件是把身高限制在比较低的人群中，在条件分布中体重取小值的概率会显著增加。在一定的限制下，我们弄清楚了X的分布随着Y值而变化的情况，就能更清晰，准确地了解身高对体重的影响。（二）二维离散型随机变量的条件分布的概念设X，Y为两个离散型随机变量，X取值xxxn,...,21，Y取值yyym,...,21，它们的联合概率分布为...21,,,X，，jiYPpyxijjiX和Y的边缘概率分布分别为nimjijYXpPppyxximjjii...211),(X1，，，。mjniijYXpYPppyxyjnijij...211),(1，，，，现在讨论当),...,2,1(Ymjyj的条件下，X的分布。由于X取值xxxn,...,21，所以求？}|{yxjiYXP因为xiX是一事件，yjY也是一事件，那么由条件概率的定义可得对于固定的j，若0pj。，则称...2,1,}{}{}|{iYPYXPYXPppyyxyxjijjjiji。，,第4页共17页为在yYj条件下随机变量X的条件概率分布;同理，对于固定的i,若0p。i，则称...2,1,}{}{}|{jXPYXPXYPppxyxxyiijijiij。，为在xXi条件下随机变量Y的条件概率分布。(三)二维连续型随机变量的条件分布设），（YX为二维连续型随机变量，由于对任意实数x和y，0y}P{Yx}P{X，因此不能直接用条件概率公式来定义条件分布，但可以想到用}-y|xP{Xlim0yY来作为}|{yYxXP1.条件分布函数定义设对任意的正数，0}-P{yyY，若对任意的实数x极限}-P{y}-yxP{X}-y|xP{Xlimlim00yYyYyY，存在，则称它为在Y=y的条件下，X的条件分布函数，记为yY|xFx或y|xFx。2.条件概率密度定义对固定的y，，若0Yyf，则在yY的条件下，X的条件概率密度为.)(),(|XyyxfyxffY它与条件分布函数应有如下关系：xdyfu|uy|xXxF第5页共17页对固定的x，，若0Xxf，则在xX的条件下，X的条件概率密度为.)(),(|YxyxfxyffX同样有，u)|u()|(dxxyyYYfF第二章条件分布在生活中的应用（一）条件分布在经济预算中的应用众所周知，不论做什么事情，提前做好准备总能提高成功的机率。面对很多需要预算的问题时，条件分布能为你提供很有力的解决办法。例如下个月预出费用的估计、客人订单多少的预算等等。在下例中将对医药公司的某药品订单数预计进行探讨。例1、西安某一医药公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X和Y，该公司根据以往积累的资料知，X和Y的联合分布为XY515253545551525354550.060.070.050.050.050.050.050．100.020.060．050.010.100.010.050.010.010.050.010.010.010.010.050.030.03求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布。第6页共17页解：因为5,4,3,2,1,},{},{11jiYPXPyppxppiiijjijiji。。所以Y的边缘分布为Y5152535455pk0.280.280.220.090.13因为5,4,3,2,1,28.0}51,{}51{}51,{}51|{iYXPYPYXPYXPxxxiii，所以14328.006.0}51|51{YXP，28728.007.0}51|52{YXP28528.005.0}51|53{YXP，28528.005.0}51|54{YXP28528.005.0}51|55{YXP故当8月份的订单数为51时，9月份的订单数的条件分布为xi5152535455}51|{YXPxi6/287/285/285/285/28可以看出当8月份的订单数为51时，9月份的订单数为52时的概率最大，那么医药公司由此可以大致预计出9月份青霉素的生产量，而且明确的数据更能让领导及员工认可这个决策。生活中有许多类似的例子都可以用条件分布去做出判断，例如养鸡场在本周的产蛋量固定时，下周的产蛋量的分布；食堂周一的包子售出量一定时，周二的售出量的分布等等，有了这个估计，可以决定你接下来的计划。第7页共17页（二）条件分布在刑侦破案中的应用在许多破案的影片中，我相信大家都对这一场景不陌生，就是侦查员在犯罪现场发现了犯罪嫌疑人的脚印，都会采样，量一量其长度，那这有什么作用呢？通过下面这个例子，我们将会有一定的了解。例2、设一个人的脚印长度为X，身高为Y，现知犯罪嫌疑人的脚印长度为y,问如何求得这个人的近似身高。解：知影响人类身高与脚印的随机因素是大量的、相对独立的且各个因素之间的影响又是微小的，可以叠加的，由中心极限定理知二