条件概率及全概率公式练习题

二、计算题1.从1,2,3,…,15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率.解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”.则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式而P(B)=3/15=1/5,,∴P(A|B)=9/14.2.掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率.解.设事件A表示“掷出含有1的点数”,设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”.则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式,,∴P(A|B)=1/2.3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取1解.设事件Ai表示“第i次取到白球”.(i=1,2,…,N)则根据题意P(A1)=1/2,P(A2|A1)=2/3,到黑球的概率.由乘法公式可知:P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.而P(A3|A1A2)=3/4,P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4.由数学归纳法可以知道P(A1A2…AN)=1/(N+1).4.甲袋中有5只白球,7只红球;乙袋中有4只白球,2只红球.从两个袋子中任取一袋,然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率.解.设事件A表示“取到的是甲袋”,则表示“取到的是乙袋”,事件B表示“最后取到的是白球”.根据题意:P(B|A)=5/12,,P(A)=1/2.∴.5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率.解.设事件Ai表示“从甲袋取的2个球中有i个白球”,其中i=0,1,2.事件B表示“从乙袋中取到的是白球”.显然A0,A1,A2构成一完备事件组,且根据题意P(A0)=1/10,P(A1)=3/5,P(A2)=3/10;P(B|A0)=2/5,P(B|A1)=1/2,P(B|A2)=3/5;由全概率公式P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.6.袋中装有编号为1,2,…,N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率.解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则表示“第一次取到的是非1号球”;事件B表示“最后取到的是2号球”.显然P(A)=1/N,,且P(B|A)=1/(N-1),;∴=1/(N-1)×1/N+1/N×(N-1)/N=(N2-N+1)/N2(N-1).7.袋中装有8只红球,2只解.设事件A1表示“第一次取到的是红球”,黑球,每次从中任取一球,不放回地连续取两次,求下列事件的概率.(1)取出的两只球都是红球;(2)取出的两只球都是黑球;(3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球;(4)第二次取出的是红球.设事件A2表示“第二次取到的是红球”.(1)要求的是事件A1A2的概率.根据题意P(A1)=4/5,,P(A2|A1)=7/9,∴P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5×7/9=28/45.(2)要求的是事件的概率.根据题意:,,∴.(3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件的概率.,,,,∴.(4)要求第二次取出红球,即求事件A2的概率.由全概率公式:=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.8.某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.解.设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”,设事件Bi表示“射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)显然,B1、B2、B3、B4构成一完备事件组,且P(B1)=4/20,P(B2)=8/20,P(B3)=7/20,P(B4)=1/20;P(A|B1)=0.9,P(A|B2)=0.7,P(A|B3)=0.5,P(A|B4)=0.2.由全概率公式得到P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4)P(B4)=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20=0.645.9.轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分别是0.5、0.3、0.2,又设它在距目标400、200、100(米)时的命中率分别是0.01、0.02、0.1.求目标被命中的概率为多少?解.设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”,设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”,用事件B表示“目标被击中”.由题意,P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.2,且A1、A2、A3构成一完备事件组.又已知P(B|A1)=0.01,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.1.由全概率公式得到:P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.031.10.加工某一零件共需要4道工序,设第一﹑第二﹑第三﹑第四道工序的次品率分别为2﹑3﹑5﹑3,假定各道工序的加工互不影响,求加工出零件的次品率是多少?解.设事件Ai表示“第i道工序出次品”,i=1,2,3,4因为各道工序的加工互不影响,因此Ai是相互独立的事件.P(A1)=0.02,P(A2)=0.03,P(A3)=0.05,P(A4)=0.03,只要任一道工序出次品,则加工出来的零件就是次品.所以要求的是(A1+A2+A3+A4)这个事件的概率.为了运算简便,我们求其对立事件的概率=(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876.∴P(A1+A2+A3+A4)=1-0.876=0.124.11.某人过去射击的成绩是每射5次总有4次命中目标,根据这一成绩,求(1)射击三次皆中目标的概率;(2)射击三次有且只有2次命中目标的概率;(3)射击三次至少有二次命中目标的概率.解.设事件Ai表示“第i次命中目标”,i=1,2,3根据已知条件P(Ai)=0.8,,i=1,2,3某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事件Ai是相互独立的.(1)射击三次皆中目标的概率即求P(A1A2A3).由独立性:P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.83=0.512.(2)“射击三次有且只有2次命中目标”这个事件用B表示.显然,又根据独立性得到:.(3)“射击三次至少有2次命中目标”这个事件用C表示.至少有2次命中目标包括2次和3次命中目标,所以C=B+A1A2A3P(C)=P(B)+P(A1A2A3)=0.384+0.512=0.896.12.三人独立译某一密码,他们能译出的概率分别为1/3,1/4,1/5,求能将密码译出的概率.解.设事件Ai表示“第i人能译出密码”,i=1,2,3.由于每一人是否能译出密码是相互独立的,最后只要三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译出,因此所求的概率为P(A1+A2+A3).已知P(A1)=1/3,P(A2)=1/4,P(A3)=1/5,而=(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4.∴P(A1+A2+A3)=1-0.4=0.6.13.用一门大炮对某目标进行三次独立射击,第一、二、三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7,若命中此目标一、二、三弹,该目标被摧毁的概率分别为0.2、0.6和0.8,试求此目标被摧解.设事件Ai表示“第i次命中目标”,i=1,2,3.设事件Bi表示“目标被命中i弹”,i=0,1,2,3.设事件C表示“目标被摧毁”.由已知P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.7;P(C|B0)=0,P(C|B1)=0.2,P(C|B2)=0.6,P(C|B3)=0.8.又由于三次射击是相互独立的,所以,毁的概率.=0.6×0.5×0.7+0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3=0.36,=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7=0.41,.由全概率公式得到P(C)=P(C|B0)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B3)=0×0.09+0.2×0.36+0.6×0.41+0.8×0.14=0.43.