极值定理的应用

Xupeisen110高中数学1极值定理的应用教材：极值定理的应用目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。过程：一、复习：基本不等式、极值定理二、例题：1．求函数)0(,322xxxy的最大值，下列解法是否正确？为什么？解一：3322243212311232xxxxxxxxy∴3min43y解二：xxxxxy623223222当xx322即2123x时633min3242123221262y答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在x使得xxx2122；解二错在x62不是定值（常数）正确的解法是：33322236232932323232323232xxxxxxxxy当且仅当xx2322即263x时3min3623y2．若14x，求22222xxx的最值解：])1(1)1([21]11)1[(2111)1(21222222xxxxxxxxx∵14x∴0)1(x0)1(1xXupeisen110高中数学2从而2])1(1)1([xx1])1(1)1([21xx即1)2222(min2xxx3．设Rx且1222yx，求21yx的最大值解：∵0x∴)221(21222yxyx又2321)2()221(2222yxyx∴423)2321(212yx即423)1(max2yx4．已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值解：yxyxbxaybaybxayxyx))((1)(2)(2bayxbxayba当且仅当yxbxay即bayx时2min)()(bayx三、关于应用题1．P11例（即本章开头提出的问题）（略）2．将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？Xupeisen110高中数学3解：设剪去的小正方形的边长为x则其容积为)20(,)2(2axxaxV)2()2(441xaxaxV272]3)2()2(4[4133axaxax当且仅当xax24即6ax时取“=”即当剪去的小正方形的边长为6a时，铁盒的容积为2723a四、作业：P12练习4习题6.27补充：1．求下列函数的最值：1)(,422Rxxxy(min=6)2)20(,)2(2axxaxy(272max3a)2．10x时求236xxy的最小值，xxy362的最小值)429,9(32设]27,91[x，求)3(log27log33xxy的最大值(5)3若10x,求)1(24xxy的最大值)332,274(x4若Ryx,且12yx，求yx11的最小值)223(3．若0ba，求证：)(1baba的最小值为34．制作一个容积为316m的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）