极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法

极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法广西省融水县融水镇第二中学龚意会手机：[phone]论文提要：本文主要从极限思想的起源以及导数、定积分等后续内容离不开极限的事实来阐述了极限理论在数学分析中的地位和作用。关键词：数列、极限、导数、微积分。引言：数学中的微积分问题实际上是极限问题，学好了极限理论，微积分问题就迎刃而解了，读了这篇文章也许对你会有帮助。一.极限思想极限思想起源于圆周的计算。我国古代杰出的数学家刘徽于公元263年创立的“割圆术”，就是借助于圆的一串内接正多边形的周长数列的稳定变化趋势定义了圆的周长。刘徽说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”。具体的作法是：先作圆的内接正六边形，然后平分每组对边所对的弧，作出圆的内接正十二边形，再用同样的方法作圆的内接正二十四边形、四十八边形、九十六边形，等等。不论正多边形的边数怎样多，每个圆的内接正多边形的周长都是可直接度量的，算是已知的。于是，得到一串圆的内接正多边形的周长数列：,,,,,,629648241261npppppp，这个数列的通项是621np，是正n边形的周长。当边数n不断增大，使之趋于无穷大时，621np无限地趋于一个常数C，这个常数C就是圆周数列的极限，也是该圆的周长。圆是曲边形，它的内接正多边形是直边形，二者有着本质的区别，但这个区别又不是绝对的，在一定的条件下正多边形可以转变为圆。这个条件就是，在正多边形的边数不断的增多时，每条边长却在不断的缩短，当边数n无限的增大，乃至趋于无穷大时，每条边长趋近于零，这时的正n边形就变成了圆。因此，极限方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学方法，极限方法是极限思想的体现，也是辨证思想的体现。二.极限的定义在数学分析中极限有两个定义，一个是数列极限的定义另一个是函数极限的定义。数列极限的定义是：设有数列{na}，a是常数。若对任意ε＞0，总存在正数N，对任意正数n＞N，有│aan│＜ε，则称数列{na}的极限是a。用逻辑符号可表示如下：1ananlimε＞0，NN，n＞N，有│aan│＜ε。而函数极限的定义又要分两种情况：（1）当自变量x时，函数)(xf极限的定义为：设函数)(xf在区间（,a）有定义，b是常数。若ε＞0，0A＞，x＞A(＞a)，有│bxf)(│＜ε，则称函数)(xf（当x时）的极限为b。（2）当自变量ax时，函数)(xf极限的定义为：设函数)(xf在邻域U（a）有定义，b是常数若ε＞0，δ＞0，x：0＜│ax│＜δ（x∈U（,a）），有│bxf)(│＜ε，则称函数)(xf当ax时的极限是b。数列极限和函数极限的定义在形式上似乎没有什么联系，但是根据海涅定理：bxfax)(lim对任意数列{na}，aan，且ananlim，有bnafx)(lim.说明这两者在本质上是可以互相转化的。三.极限理论在数学分析中的地位和作用数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。1.导数是特殊的极限物体运动的瞬时速度、曲线在某点处的切线斜率、非恒稳电流强度以及化学反应速度等等，都可以归结为是函数)(xfy的改变量y与自变量的改变量x的比值当0x时的极限，而导数就是在这个基础上下定义的。下面是`刘玉琏编著的《数学分析》第四版上册所给的定义：设函数y=)(xf在)(0xU有定义，在0x自变数x的改变量是x，相应函数的改变量是)()(00xfxxfy。若极限xxfxxfxyxx)()(0000limlim存在，称函数)(xf在0x处可导，此极限称为函数)(xf在0x的导数，若此极限不存在则称2函数)(xf在0x不可导。从定义看出，有了极限才有导数，没有极限就没有导数。2.定积分是和的极限为了计算平面上任意形状封闭曲线围成区域的面积，我们可以将封闭区域分割成n个相等的小矩形，用小矩形的面积之和近似代替封闭区域的面积。每个小矩形的面积是已知的，当n不断增大时，小矩形就会不断变小，小矩形的面积之和就越来越接近封闭区域的面积，当n时，每个小矩形的面积趋于零，所有小矩形的面积之和达到一个极限，这个极限就是封闭区域的面积。同样，要计算物体非等速直线运动从时刻a到时刻b所经过的路程时，可以将这段时间分割成n个时间段，物体在各个时间段里的运动看成是匀速运动，那么物体在n段时间里所走的路程之和就可以近似地代替物体从时刻a到b的路程。n越大，这个路程之和就越精确。当n时，路程之和也达到一个极限，这个极限就是物体从时刻a到时刻b所经过的路程。这两个例子虽然实际意义不同，但从抽象的数量关系来看，它们都是函数在区间上具有特定结构的和的极限。定积分的概念就是在“和的极限”这个基础上作出定义的。下面是`刘玉琏编著的《数学分析》第四版上册所给的定积分定义：设函数)(xf在[ba,]有定义。任给[ba,]一个分法T和一组ξ={ξk}，有积分和σ（T，ξ）=nkkkxf1)(.若当0)(Tl时，积分和σ（T，ξ）存在极限，设IxfTnkkkoTtTt1)(0)()(limlim），（，且数I与分法T无关，也与ξk在[kkxx,1]的取法无关，即＞0，＞0，)(TlT：＜δ，},{k有│Ixfnkkk1)(│＜ε，则称函数)(xf在[ba,]可积，I是的定积分。这个积分可以表示为：IxfdxxfnkkkTtba10)()()(lim.在这里，我们要特别注意的是只有当积分和σ（T，ξ）存在极限时积分才存在，否则函数)(xf在[ba,]是不可积的。以上两例足以说明极限理论是微积分的基础，是数学分析的理论依据。3四.极限的计算计算极限是数学分析中的重点内容，它涉及到很多后继内容的学习。那么如何学好极限的计算呢？1.掌握有关极限的定理这里给出函数极限Axfxx)(lim0的情形，至于数列的极限和其它形式的函数极限也都有类似的结果。（1）唯一性如果)(xf在点0x有极限，则极限是唯一的。（2）有界性如果)(xf在点0x有极限，则存在正数δ和M。使当0＜│0xx│＜δ时，有│)(xf│＜M。（3）保号性如果存在Axfxx)(lim0，并且A＞0（或A＜0)，则存在δ＞0，使得对一切满足0＜│0xx│＜δ的x，都有)(xf＞0（)(xf＜0）。（4）两边夹定理如果存在δ＞0，使当0＜│0xx│＜δ时，)(xh≤)(xf≤)(xg，并且Axhxx)(lim0，Axgxx)(lim0，则Axfxx)(lim0。（5）运算法则设Axfxx)(lim0，Bxgxx)(lim0，则BAxgxfxx)]()([lim0；BAxgxfxx)]()([lim0。在B≠0时，又有BAxgxfxx)()(lim0。若0)(lim0xfxx，)(xg在0x的某个邻域内有界，则0)()(lim0xgxfxx。2.注意灵活应用各种简便方法（1）利用极限的四则运算例1求nxnxneexxxf1)(2lim。解：当x＜0时，0nxe，由极限的四则运算可得xxxxf010)(2；当x=0时，00)0(lim0nf；当x＞0时，nxe，0nxe。从而22211limlimxexxeeexxnxnxnnxnxn。4综上所述，可得.0,,0,0,0,)(2x＞xxx＜xxf（2）利用初等函数的连续性设)(xf是初等函数。如果)(0xf有意义，则)(xf在0x处连续，从而)()(0lim0xfxfxx。于是，求函数在0x处的极限就归结为求函数值)(0xf。例2求xxxxxexx)1(2sin)1ln(cos220lim。解：因为xexxyx2sin)1ln(cos22与)1ln()1(xxxexy都在点0x连续，因此这两个函数的和也在0x连续。则有12ln)01()02sin()10ln(cos)1(2sin)1ln(cos0022220limexxxexxxxx注意，如果)(),(xvxu是初等函数，并且0)(＞xu，则幂指数)(ln)()()(xuxvxvexu也是初等函数。（3）利用初等数学的恒等式将函数或数列化为易于求极限的形式后再计算常用的恒等式有：三角恒等式，等差数列与等比数列的求和公式，某些自然数集的和的公式，以及根式有理化等。例3求NnNn1211lim.解：因为),111(2)1(22)1(1211nnnnnnn所以NnNnNNNnnn11.1112]111)3121()211[(2)111(2211）（）（所以NnNNNn12)111(2211limlim.例4.设│x│＜1，求)]1()1)(1)(1[(242limnxxxxn.解：因为512242224211)1)(1)(1(]1)1)(1)(1)[(1(nnnxxxxxxxxxx）（）（当n，时12n，而│x│＜1，故012nx.因此xxxxxxnnnn11111)1)(1(1222limlim）（.例5.求)sin1(sinlimxxx解：)1(21sin21cos2)21sin21cos2()sin1(sinlimlimlimxxxxxxxxxxxxx因,0)1(21sinlimxxx│21cos2xx│≤2，故0)sin1(sinlimxxx注意：在x时，1sinx与xsin均没有极限，因此原极限不能写成极限的差的形式。（4）利用两个重要极限求极限弦弧之比的极限：1sinlim0xxx或0sinlimxxx；确定自然对数之底e的极限：exxx11lim或exxx10)1(lim。对于一些特殊的极限，运用恒等变形或进行变量替换，使所求极限之变量的结构形式凑成或变换成这两个重要极限的标准形式，或它们与其他形式的组合，这是利用这两个重要极限来求极限的主要解题思路。例6.求.3sin220limxxx解：解法一：主要是“凑”成标准式691933sin193sin393sin393sin393sin993sin220220220220220limlimlimlimlimlimxxxxxxxxxxxxxoxxxxx解法二：作变量替换，令3xt，则tx3。当0x时，ot。.919sin9sin9333sin220220220limlimlimtttttxxtxxttx例7.求22221limxxxx.解：eexxxxxxxxxxxxx1111111111222222222limlimlimlim222（5）利用“两边夹定理”求极限例8.设nnnnyn22212111，求nnylim.解：因为nnn2≤ny≤12nn7而1111lim