构造全等三角形证明竞赛题

构造全等三角形证明竞赛题江西安义人全等三角形是能够完全重合的两个三角形，它们的对应边相等，对应角相等。对于某些竞赛题，考虑构造全等三角形并利用这两个相等，可使其解答巧妙、迅捷。一、与线段相等有关的竞赛题例１（成都市初二数学竞赛题）如图１，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD＝PE。求证：AC＝AB。简证：连AP。因为∠PDA＝∠PEA＝90°，PD＝PE，PA＝PA，所以Rt△PDA≌Rt△PEA（HL）。所以AD＝AE。因为∠１＝90°－∠CAB＝∠２，所以Rt△ACE≌Rt△ABD（AAS）。所以AC＝AB。31221DEBPBACAFCED图１图２例２（天津市初二数学竞赛题）如图２，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E。求证：BE＝12AD。简证：延长BE、AC交于点F。因为∠１＝∠２，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°，所以△AEB≌△AEF（ASA）。所以BE＝FE＝12BF。因为∠３＝90°－∠F＝∠２，BC＝AC,所以Rt△BCF≌Rt△ACD（ASA）。所以BF＝AD，BE＝12AD。二、与角相等有关的竞赛题例３（赣州市初三数学竞赛题）如图３，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD是中线，CE⊥BD于点E，交AB于点F。求证：∠ADF＝∠CDE。简证：过点A作AG⊥AC交CF的延长线于点G。因为∠１＝90°－∠３＝∠２，AC＝BC，所以Rt△CAG≌Rt△BCD（ASA）。所以AG＝CD＝AD，∠G＝∠CDE。因为∠４＝45°＝∠５，AF＝AF,所以△ADF≌△AGF（SAS）。所以∠ADF＝∠G＝∠CDE。5413254231EDBCAGACFBFED图３图４例４（上海市初中数学竞赛题）如图４，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，AE＝12（AD＋AB）。求证：∠ADC＋∠ABC＝180°。简证：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F。因为∠２＝∠３，AC＝AC，所以Rt△ACF≌Rt△ACE（AAS）。所以CF＝CE，AF＝AE。因为AD＋AB＝２AE，AB＝AE＋EB，所以EB＝AE－AD。因为FD＝AF－AD，所以EB＝FD。所以Rt△CEB≌Rt△CFD（SAS）。所以∠ABC＝∠5。所以∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠５＝180°。构造全等三角形巧证几何题朱元生全等三角形是初中平几的重要内容之一，在几何证题中有着极其广泛的应用。然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析，仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形。借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快。现略举几例加以说明。一.证线段垂直例1.已知，如图1，在中，AB＝2BC，求证：图1分析与证明：本题可先作的平分线BD交AC于点D，由，又，得到。则为等腰三角形。再取AB中点E，连DE，借助等腰三角形的性质，得到。再由，，BD＝BD，得到。由全等三角形的对应角相等，得到，即。二.证线段的倍分例2.已知，如图2，等腰中，，的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E。求证：BD＝2CE（湖北中考题）图2分析与证明：要证BD＝2CE，可延长BA、CE交于点F。由BE平分，，得到为等腰三角形。根据等腰三角形的性质可得CE＝EF，即。再由，AB＝AC，，得到，从而由全等三角形的对应边相等立即得到BD＝CF＝2CE。三.证角相等例3.已知，如图3，在中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：图3分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。延长AD至G，使DG＝AD，连BG，由DG＝AD，，BD＝CD得到。由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AC＝BG，。而AC＝BE，则BE＝BG，所以，而，从而得到。四.证角不等例4.已知：如图4，在中，，AD是BC边的中线。求证：图4分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。延长AD至E，使DE＝AD，连BE。由DE＝CD，，BD＝CD，得到。由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到BE＝AC，，在中，由，得到，而，所以五.证线段相等例5.已知：如图5，在中，D是BC边的中点，交的平分线于E，交AB于点F，交AC的延长线于点G。求证：BF＝CG。图5分析与证明：要证BF＝CG，显然要构造三角形找全等。由ED垂直平分BC，连EB、EC，由垂直平分线性质可得，EB＝EC。又AE为的平分线，且，，根据角平分线性质可得，从而（HL）再由全等三角形的对应边相等立即可得BF＝CG。六.证线段不等例6.已知：如图6，在中，AB＝AC，P是三角形内一点，且，求证：图6分析与证明：PB、PC虽在同一三角形中，但与已知条件无直接联系，可利用图形变换构全等三角形。将绕顶点A逆时针旋转，使AB与AC重合，得，则，从而转化为比较PC与QC的大小，为此只须证即可。由，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得到，AQ＝AP，PB＝QC，所以，从而，即。由大角对大边得到，即七.证线段和差相等例7.已知：如图7，在中，，CD是的平分线，求证：BC＝AD＋AC图7分析与证明：由CD是的平分线，可利用角平分线的对称性。在BC上取一点E，使CE＝CA，连DE，由CA＝CE，，CD＝CD，可得。由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AD＝ED，且，而，得到，从而，所以八.证线段和差不等例8.已知：如图8，D为的BC边的中点，，的平分线分别与AB、AC交于点E、F，求证：图8分析与证明：直接论证，条件不足，可设法将有关线段集中于同一三角形中，为此延长FD至M使DM＝FD，利用角平分线性质构全等三角形，帮助解决。延长FD至M，使DM＝FD，连结BM、EM。由DM＝DF，，BD＝CD，得到。由全等三角形的对应边相等得到BM＝CF。由，而，所以；又由，从而。再由，DE＝DE，得到。同样由全等三角形的对应边相等得到EM＝EF。而，所以。从以上几例可以看出，有些比较棘手的平几证题百思不得其解时，根据图形的结构特点，添加适当的辅助线，巧构全等三角形，可迅速找到证题途径，使问题迅捷获证。真可谓“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。