构造函数及函数图像解中学数学问题

1（已用）数学构造函数及函数图像解中学数学问题晋城中学杨学军庞春艳（13980313400）函数是解决实际问题的有力工具。客观世界是不断运动的、发展变化的，运动的规律、变化的趋势，需要用变量来刻划，用函数来研究。函数是中学数学的主要内容。无论数、式、方程、不等式都与函数有密切联系，抓住了函数，就抓住了纲，就能纳举目张。使用函数图像，数形结合，有利于找到解题思路，有利于提高解题速度和准确程度。1、构造线性函数例1已知1||,1||,1||cba，求证：01cabcab。证：将字母a作为变元，构造函数1)()(bcxcbxf只证1||x时，0)(xf事实上，0)1)(1()1(cbf0)1)(1()1(cbf又线性函数)(xf是单调函数。∴当11x时，)(xf介于)1(f与)1(f之间，即当1||a时，01)(cabcabaf。例2设bxaxxf2)(，且2)1(1f，4)1(2f，求证：10)2(5f。证：∵bafbaf)1()1(解得)]1()1([21)]1()1([21ffbffa2∴)1(3)1(24)2(ffbaf将4)1(2f，6)1(33f两式相加，即得10)2(5f。2、构造二次函数例3已知实数a、b、c满足1abc，0cba，求证a、b、c中必有一个大于23。证：易知a、b、c为一正二负，不妨令cba0，只证23a，∵acb，abc1，则b，c是012aaxx的二根。∴△＝042aa，解得234,433aa。例4已知关于x的实系数方程02baxx有二实根，，且4||,4||2bba，求证2||a，2||。证：构造二次函数baxxxf2)(，与x轴交于二点A（a，0）,B（，0）。只证A、B在（-2，2）上，即证0)2(f，0)2(f，顶点横坐标2||0x。事实上：ba4||2，即024ba，即0)2(f，0)2(f。又4||b∴422||ba∴2|2|||0ax。∴A，B二点横坐标，满足2||a，2||。例5设在x0范围内方程02sin42cosaxax具有两个不同的解，试求a的取值范围。分析：即01sin4sin22axax，在x0内有两个不同的解。令xtsin，即01422aatt在10t内有一个实根。解1：作二次函数122ty…………①一次函数aaty4…………②3在]1,0[t内有一个公共解，即抛物线①与直线系②在[0，1]内只有一个公共点。∴切线0l符合条件，这时△＝0)1(8)4(2aa，211a，12a（舍去）。且当直线位于1l，（连接AB二点直线53a），与2l（连结AC二点直线1a）之间时也满足条件（如图）∴21a或153a解2：作二次函数aatty1422…………③)10(t依题意③在[0，1)有一个根，分三种情况讨论：如图左，△＝0)1(8162aa，21a，1a（舍去1）；对图中，△＝0)1(8162aa；对图右，△0,分别满足：053)1(01)0(afaf0)1(0)0(ff∴531a空集无公共解3、构造高次函数例6分解因式）（cbbaccbbaacbbaaccba)())()(())()((222)(ac。解：以a为变无构造函数))()(())()(())()(()(222xccbbxccbbxxcbbxxccbxxf∵0)(bf∴)(xf能被bx整除，即)(af能被)(ba整除。由对称性知)(af也能被cb，ac整除。4可令)]()()[)()(()(222cabcabBcbaAaccbbaaf比较二边系数，可得1A，2B。故)](2)[)()(()(222cabcabcbaaccbbaaf＝2))()()((cbaaccbba例7已知实数x、y满足05)4(99yxxyx，求yx5的值。解：xxyxyx9944）（令tttf9)(，则)4(yxf＝)(xf，又)()(tftf，)(tf是R上奇函数。∵)()4(xfyxf∴05,4yxxyx4、构造其他函数例8已知0a，1a，试求方程）（222log)(logaxakxaa有解的k的取值范围。解1：022axakx…………（1）作akxy)0(y…………（2）022axy即)0(222yayx…………（3）（1）有解，即直线束（2）与双曲线（3）有交点。x∴（2）的横截距ak满足aak或aak0，即1k或10k，如上图。解2：022axakx)()(222akxaxakxakkaakx22，0212kk，0)1)(1(kkk)1,0()1,(k5例8求证3n，Nn时，1)1(nnnn。证法1：比值法。构造1)1()(nnnnnf，只证1)(nf∵121)1(/)1()2()()1(nnnnnnnnnfnf＝1)122(122nnnnn故)(nf单调减少，又134)3(43f，∴1)(nf。证法2：差值法。121)1()1()2()()1(nnnnnnnnnfnf＝0)1()12()2(121212nnnnnnnnnn∴3n时，134)3()1()(431fnnnfnn证法3：取对数法。只证nnnnn1)1()1ln()3(n只证nnnnnn11)1(1)3(n令nnnnf1)(，只证)(nf是单减函数。011)(2nnnnf)3(en∴1)1(1)1(1)(nnnnfnnnnf)3(n反推回去，可得1)1(nnnn。推论：若bae，则baab，这说明指数比底数更起作用。