教案--第五章二次型

物流学院2015—2016学年度第1学期线性代数课堂教学方案授课年级2014专业层次会计学本科授课班级1、2、3、4班授课教师2015年8月28日《线性代数》教案任课教师授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排1学时授课题目（章节）第五章二次型第一节二次型及其矩阵教学目的、要求（教学目标）⑴了解二次型的概念⑵掌握二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质⑶熟练掌握求二次型秩的方法教学重点与难点二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质，求二次型秩的方法教学方式、方法与手段讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程问题导入：在解析几何中，为了便于研究二次曲线122cybxyax的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换cossinsincosyxyyxx把方程化为标准形式122ycxm.这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n个变量的二次多项式的化简问题.内容要点一、二次型的概念定义1含有n个变量nxxx,,,21的二次齐次函数理论讲解30分钟，习题选讲10分钟，练习、答疑5分钟提问：n元二次型是如何定义的？nnnnnnnnnnnnxxaxxaxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,12232231121122222221112122222),,,(称为二次型.当ija为复数时，f称为复二次型；当ija为实数时，f称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.二、二次型的矩阵取ijjiaa,则,2ijjijiijjiijxxaxxaxxa于是njijiijnnnnnnnnnnnnxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf1,222112222221221112112211121),,,()()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax.),,,(),,,(212122221112112122112222121121211121AXXxxxaaaaaaaaaxxxxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxxTnnnnnnnnnnnnnnnnnn其中nnnnnnnaaaaaaaaaAxxxX21222211121121,.称AXXxfT)(为二次型的矩阵形式.其中实对称矩阵A称为该二次型的矩阵.二次型f称为实对称矩阵A的二次型.实对称矩阵A的秩称为二次型的秩.于是，二次型f与提问：二次型的秩是怎样定义的？其实对称矩阵A之间有一一对应关系.三、线性变换定义2关系式nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx21122212121121111称为由变量nxxx,,,21到nyyy,,,21的线性变换.矩阵nnnnnncccccccccC212222111211称为线性变换矩阵.当0||C时，称该线性变换为可逆线性变换.对于一般二次型AXXXfT)(,我们的问题是：寻求可逆的线性变换CYX将二次型化为标准型，将其代入得AXXXfT)(YACCYCYACYTTT)()()(这里，YACCYTT)(为关于nyyy,,,21的二次型，对应的矩阵为ACCT.四、矩阵的合同定义3设A,B为两个n阶方矩阵,如果存在n阶非奇异矩阵C,使得,BACCT则称矩阵A合同于矩阵B,或A与B合同,记为.BA易见,二次型AXXxxxfTn),,,(21的矩阵A与经过非退化线性变换CYX得到的二次型的矩阵ACCBT是合同的.矩阵的合同关系基本性质:注:若0,则与任何向量都正交.(1)反身性对任意方阵)(;,AAEEAAAT因为;(2)对称性若,BA则;AB(3)传递性若,,CBBA则.CA例题选讲例1二次型3222312132xxxxxxx的矩阵是;02/32/12/322/12/12/10A反之,对称矩阵02/32/12/322/12/12/10A所对应的二次型是11232301/21/2(,,)1/223/21/23/20TxxAxxxxxx2121322323.xxxxxxx例2求二次型23223121213216224),,(xxxxxxxxxxf的秩.作业与课外训练P1423课外阅读资料或自主学习体系安排1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093.，麻省理工公开课：线性代数课后小结本节学习了二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质，学习了求二次型秩的方法。课后加强二次型秩的计算《线性代数》教案任课教师授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排2学时授课题目（章节）第二节化二次型为标准形教学目的、要求（教学目标）⑴了解二次型与对称矩阵的规范形⑵掌握化二次型为标准形的三种方法教学重点与难点化二次型为标准形的三种方法教学方式、方法与手段讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程内容导入若二次型),,,(21nxxxf经可逆线性变换Cyx化为只含平方项的形式,2222211nnybybyb则称之为二次型),,,(21nxxxf的标准形.由第4章实对称矩阵的对角化方法可知,可取C为正交变换矩阵，则二次型AXXxxxfTn),,,(21在线性变换CYX下,可化为.)(YACCYTT如果ACCT为对角矩阵nbbbB21则),,,(21nxxxf就可化为标准形,2222211nnybybyb其标准形中的系数恰好为对角阵B的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A能否合同于一个对角矩阵.理论讲解45分钟，习题选讲40分钟，练习、答疑5分钟提问：任意一个实二次型XTAX是否都可经过一个满秩线性变换化为标准型？内容要点一、用配方法化二次型为标准形.定理1任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.拉格朗日配方法的步骤:(1)若二次型含有ix的平方项,则先把含有ix的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止,经过可逆线性变换,就得到标准形;(2)若二次型中不含有平方项,但是)(0jiaij,则先作可逆变换),,,2,1(jiknkyxyyxyyxkkjijjii且化二次型为含有平方项的二次型,然后再按(ⅰ)中方法配方.注：配方法是一种可逆线性变换,但平方项的系数与A的特征值无关.因为二次型f与它的对称矩阵A有一一对应的关系，由定理1即得:定理2对任一实对称矩阵A，存在非奇异矩阵C，使BACCT为对角矩阵.即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.二、用初等变换化二次为标准型设有可逆线性变换为CYX，它把二次型AXXT化为标准型BYYT，则BACCT.已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积,故存在初等矩阵sPPP,,,21，使sPPPC21,于是sPPEPC21提问：任意一个实对称矩阵A是否都合同于一个对角矩阵？sTTTsTPPAPPPPACC2112.由此可见,对nn2矩阵EA施以相应于右乘sPPP21的初等列变换,再对A施以相应于左乘TsTTPPP,,,21的初等行变换,则矩阵A变为对角矩阵B,而单位矩阵E就变为所要求的可逆矩阵C.三、用正交变换化二次型为标准形定理3若A为对称矩阵，C为任一可逆矩阵,令,ACCBT,则B也为对称矩阵,且).()(ArBr注:(1)二次型经可逆变换CYX后,其秩不变,但f的矩阵由A变为;ACCBT(2)要使二次型f经可逆变换CYX变成标准形,即要使ACCT成为对角矩阵,即112212(,,,)TTnnnbybyYCACYyyyby2221122.nnbybyby定理4任给二次型),(1,ijjinjijiijaaxxaf总有正交变换,PYX使f化为标准形,2222211nnyyyf其中n,,,21是f的矩阵)(ijaA的特征值.用正交变换化二次型为标准形(1)将二次型表成矩阵形式,AXXfT求出A;(2)求出A的所有特征值n,,,21;(3)求出对应于特征值的特征向量n,,,21;(4)将特征向量n,,,21正交化,单位化,得n,,,21,记);,,,(21nC(5)作正交变换CYX,则得f的标准形.2222211nnyyyf四、二次型与对称矩阵的规范型将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为)1(22112211rrppppxdxdxdxd其中).,,2,1(0ridi定理5任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关.注:把规范形中的正项个数p称为二次型的正惯性指数,负项个数pr称为二次型的负惯性指数,r是二次型的秩.注:任何合同的对称矩阵具有相同的规范形0000000prpEE定理5设A为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵QC,，且,QC使得0000000prpTEEACC，0000000qrpTEEAQQ则.qp注:说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。例题选讲用配方法化二次型为标准形例1将2332223121214222xxxxxxxxx化为标准形.例2化二次型323121622xxxxxxf成标准形,并求所用的变换矩阵.用初等变换化二次为标准型例3求一可逆线性变换将3231212322214222xxxxxxxxx化为标准型.例4求一可逆线性变换化323121422xxxxxx为标准形.用正交变换化二次型为标准形例5将二次型323121232221844141417xxxxxxxxxf通过正交变换,PYx化成标准形.二次型与对称矩阵的规范型例6化二次型323121622xxxxxxf为规范形,并求其正惯性指数.作业与课外训练1.求一正交变换,将二次型323121232221321662355),,(xxxxxxxxxxxxf化为标准型,并指出1),,(321xxxf表示何种二次曲面.P1491⑵3⑴4课外阅读资料或自主学习体系安排1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093.，麻省理工公开课：线性代数课后小结这节课我们主要学习了化二次型为标准形的三种方法以及二次型规范型的概念，课后加强化二次型为标准形的练习。《线性代数》教案任课教师授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排2学时授课题目（章节）第三节