数值传热学第四章-数值计算.

2019-12-30太原理工大学1/72Thermal第四章热传导主要包含以下内容：•§4.1本章的对象•§4.2一维稳态热传导•§4.3不稳态一维热传导•§4.4二维与三维问题•§4.5超松弛与欠松弛•§4.6某些几何上的考虑2019-12-30太原理工大学2/72Thermal§4.1本章的对象一、本章研究对象本章以导热问题为代表，介绍扩散方程的数值求解法。将通用微分方程中的对流项略去，整个方法的介绍将在第五章完成。divdiv(grad)uSt2019-12-30太原理工大学3/72Thermal二、以导热问题的数值解作为学习起点的原因①热传导作为物理过程易于理解，而且在数学上的复杂性最小，计算方法也比较成熟；②工程流动与换热过程中的不少现象，其控制方程类似于热传导方程。如二维位势流动；常物性流体在直管内的充分发展对流换热；质扩散过程；轴承的润滑流动；某些通过多孔介质的流动。③导热问题数值解过程中所采用的一些方法与技巧对于对流问题的数值解也适用。如边界条件的处理、源项的线性化及代数方程组的求解方法等。2019-12-30太原理工大学4/72Thermal④.把热传导用作流体流动计算方案的基本组成部分的做法有助于理解动量传递与热量传递之间的类似性（用某种方法把速度与温度相比拟）。本章内容将是流动与换热数值解的基础2019-12-30太原理工大学5/72Thermal§4.2一维稳态热传导§4.2-1基本方程一维稳态导热问题的控制方程：dd0ddTkSxx式中：eeExkabTaTaTaWWEEPP相应的离散化方程：PPCTSSS其中：xSaaaPWEPxSbC2019-12-30太原理工大学6/72Thermal分布假设：由T对x的分段线性的变化算得；源项的线性化TP代表整个控制容积内的值，即采用阶梯性分布进行计算的。ddTx当然，不违背四项基本法则，选择其它形式的分布曲线也是可以的，但尽可能采用简单一些的分布曲线。以下各节将对离散方程中的各项给予说明2019-12-30太原理工大学7/72Thermal§4.2-2网格间距1.采用不均匀的网格间距wexxWwPeExx(x)w(x)e可以有效地扩大计算功能。在温度T随x变化剧烈的区域上采用细网格，而在变化缓慢的区域采用较疏（粗）的网格。2.怎样设计一个合适的非均匀网格因为在问题求解之前，T～x的分布是不知道的，那么如何设计网格呢？？2019-12-30太原理工大学8/72Thermal①.对所要得到的解进行某些定性的预计，使设计得到某些指导；②.采用粗网格进行试算,求得T～x的变化形式，再对温度变化急剧的区域加密，最后构成一个合适的非均匀网格。3.先疏后密的网格划分是有前提的采用粗网格得到的数值结果必须符合物理上的真实性，要做到这一点，就应该确保离散方程同时满足四个基本法则。达到给定精度所需要的网格点数,以及这些网格点在计算域内应采取的分布方式与所求问题的特性有关。4.采用仅几个网格点进行试探性计算，为弄清有关解的情况提供了一个方便的途径。也可来指导实验。2019-12-30太原理工大学9/72Thermal§4.2-3界面导热系数1.问题的提出通用离散方程式bTaTaTaWWEEPPeeExkaaE、aW分别是节点E与P和节点W与P间的热导，热导的大小反映了周围节点对节点P的影响程度。系数aE、aW中分别含有交界面导热系数ke与kw。当k是x的函数时，只知道kP、kE、kW，无法知道ke与kw的值，而ke与kw是决定交界面热流量的关键量。因此，计算ke与kw的方法是否合理就显得非常重要了。式中：2019-12-30太原理工大学10/72Thermalk值不均匀性产生的原因由材料的不均匀性引起（如组合材料板）；材料均匀，T分布的不均匀性也会导致k的不均匀。2.求解方法①.算术平均法xPeE(x)e(x)e+(x)e-如图所示，P、E之间，k与x呈线性关系，则由P、E两点上的kP、kE确定ke的关系式为：EePeEEPeeeeEPEekfkfkkkfkxxkkkk12019-12-30太原理工大学11/72ThermalEePeeeEeePekfkfxxkxxkk1EePeEEPeeeeEPEekfkfkkkfkxxkkkk1显然，这相当于线性插值。当界面e位于两个节点之间的中点时，fe=0.5,此时EPekkk212019-12-30太原理工大学12/72Thermal②.调和平均法利用传热学基本公式可以导出界面上当量导热系数的调和平均公式。据界面上热流密度连续的原则，写出下式：EePePEPePeEeeEekxkxTTkxTTkxTTq另一方面，按界面上当量导热系数的含义，应有：eePEekxTTq比较两式可得：EePeeekxkxkx可看成是串联过程热阻叠加原则的反映(x)ePeE(x)e+(x)e-x2019-12-30太原理工大学13/72Thermal③.两种方法的比较算术平均法简单方便，但在处理导热性能相差很大的组合材料导热时存在明显缺陷。下面讨论两种极限情况：kE0,即设想交界面e是k相差很大的两种材料的分界面，节点E的控制容积是绝热材料，这时节点E、P之间的导热量应该小到接近于零，即两点间的热阻应接近于∞。但用算术平均法计算,,这时ke与kE无关，仅与kP有关，不符合物理规律。eePexxkk(x)ePeE(x)e+(x)e-xeeePEeexxkkkxx2019-12-30太原理工大学14/72ThermalP控制容积是良导热体,按算术平均法计算,EPkk当网格均分时,PEPekkkk2121即P、E两点间的热阻为，表明此时P、E间的热阻主要由k大的物体所决定，显然不符合传热原理。实际上，此时控制体E构成了热阻的主要部分。PePekxkx22(x)ePeE(x)e+(x)e-x2019-12-30太原理工大学15/72Thermal调和平均法可以合理求解上述两种极限情况EePeeekxkxkx当时EPkkeEeeEeEeeefkxxkkkxkx表明ke完全与kP无关，这个结果是可以预料的。因为围绕P点的材料k值高，其热阻与围绕E点的材料相比可以忽略。eEPEeeEPexTTkkxTTq当kE0时，由计算公式得ke0，qe0。意味着在一个绝热层的表面上热流密度为零，与实际情况相符。2019-12-30太原理工大学16/72Thermal调和平均公式的推导是对于稳态、无内热源、k在相邻的两个控制容积之间发生阶梯式变化导出的。从定性上，串联热阻叠加的适应性不受上述条件的限制。采用两种方法进行数值计算的结果表明，即使对有内热源或k呈连续变化的场合，调和平均也比算术平均更好一些。2019-12-30太原理工大学17/72Thermal§4.2-4非线性若离散化方程是一个线性的代数方程，式中的各项系数均为已知数，联立求解代数方程组可得到温度场。但实际问题中，Kp、KE和Ke或线性化源项的系数SC、SP是温度T的函数，这样离散化方程的系数aE、aW、aP本身也成为温度的函数，方程非线性采用拟线性化的方法求解（迭代）。具体求解步骤：①.先设定域内全部节点的温度值（给定一个初场）；②.由这些设定的T值计算出离散化方程中系数的试探值；③.解名义上的代数方程组，得到一组新的T值；④.以这些新的T值作为较好的估计值，返回到②，并重复此过程，直到重复计算不再引起T值任何意义上的变化为止。收敛2019-12-30太原理工大学18/72Thermal收敛：计算达到最终不变的状态称之为迭代的收敛。发散：一次次的迭代永远不会收敛到一个解。T的值可能稳定地飘移或是以一个不断增大的振幅振荡,这种与收敛相对的过程称之为发散。一种好的数值方法应当使发散的可能性减为最小。2019-12-30太原理工大学19/72Thermal§4.2-5源项的线性化如果源项是常数，则在离散方程的建立过程中不会带来任何困难；当源项是所求变量的函数时，源项的数值处理十分重要，有时甚至是数值求解的关键所在。应用较为广泛的一种处理方法是把源项局部线性化PPCTSSSSC常数，SP是S随T而变化的曲线在P点的斜率。表示在TP的附近以直线代替曲线。2019-12-30太原理工大学20/72Thermal几点说明：①.当源项为未知量的函数时，线性化的处理比假定源项为常数更为合理；因为S=f(T)，把S作为常数处理就是以上次迭代计算所得之T*来计算S，这样源项相对于T永远有一个滞后。而线性化处理后，TP是迭代的当前值，这样使S能更快地跟上TP的变化。②.线性化处理又是建立线性代数方程所必需的；③.为了保证代数方程迭代求解的收敛，要求；0PS2019-12-30太原理工大学21/72ThermalbTaTanbnbPP离散化方程的一般式：VSaaPnbP式中：线性代数方程迭代求解收敛的一个充分条件是主对角占优，即nbPaa这就要求:0PS④.由代数方程迭代求解公式：VSabTaTPnbnbnbP可见，SP绝对值的大小影响迭代过程中温度的变化速度，SP绝对值越大，系统的惯性越大，相邻两次迭代之间TP的变化越小，收敛速度下降；但有利于克服迭代过程的发散。2019-12-30太原理工大学22/72Thermal源项线性化方法举例：eg1.已知：S=5-4T,可能的线性化形式有：4,5)1(PCSS0,45)2(PPCSTS相当于设S为常数，当S的表达式很复杂时，这样做或许是唯一的一种选择。11,75)3(PPCSTS这给出了比实际S-T关系更陡的曲线，其结果使迭代收敛的速度减慢了。若在所研究的问题中还存在着其它的非线性项时，这种减慢的做法是受欢迎的。2019-12-30太原理工大学23/72Thermaleg2.已知：S=3+7T,可能的线性化形式有：不可能接受的7,3)1(PCSS0,73)2(PPCSTS2,93)3(PPCSTSeg3.已知：S=4-5T3,可能的线性化形式有：0,54)1(3PPCSTS2,4)2(PPCTSS已知的S-T曲线要比这一关系所反映的曲线陡。2019-12-30太原理工大学24/72Thermal(3)推荐的方法32d4515dPPPPPPSSSTTTTTTT于是：2315,104PPPCTSTS这一线性化表示，在点所选择的直线与S-T曲线相切。PT2325,204)4(PPPCTSTS这一线性化比已知的S-T曲线为陡，它使收敛速度减慢。2019-12-30太原理工大学25/72Thermal结论：在所有负斜率的直线中，与已知曲线相切的直线通常为最佳(图中2线)；较陡的直线是可以接受的(图中3线)；欠陡的直线是不希望采纳的(图中1线)，它不能体现已知的S随T的下降速度。STPT已知曲线1232019-12-30太原理工大学26/72Thermal§4.2-6边界条件1.问题的提出前面所推得的离散化方程适用于稳态导热问题的任何内部节点，为计算一个具体问题，应把边界条件也用离散方程表示。因为只有离散化方程的个数与待求节点变量的数目相等时，代数方程组才能封闭。2.网格划分的两种方