数值分析(颜庆津)第5章学习小结

第五章插值与逼近--------学习小结姓名班级学号一、本章学习体会本章主要介绍插值与逼近，是指用某个简单的函数在满足一定的条件下，在某个范围内近似代替某个复杂或者解析表达式未知的函数，以便简化对后者的各种计算或者揭示后者某些性质。函数插值是对函数的离散数据建立简单的数学模型。对本章的学习我对插值法有了进一步的认识。插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。而如何寻找这样的一个插值函数，以及怎样尽可能的寻找截段误差小的函数就是本章解决的问题。对本章的学习熟练的掌握了几种常用的正交多项式的应用问题并且学会了利用递推关系式和一些性质，可以快速的写出最佳平方逼近多项式，还有就是曲线拟合，并且能够熟练的使用最小二乘法去拟合所给的数据，并且能够通过构造正交多项式去拟合所给的数据。最大的收获是几种常用的正交多项式的应用问题，每个多项式都有表达式，递推关系式和一些性质，可以很简单的写出最佳平方逼近多项式，还有就是曲线拟合，通过散点图，找出最佳多项式，使误差最小本章的内容很多，插值与逼近的方法也有许多，在本章的学习过程中也遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对正交多项式的性质理解不够深刻，这些问题在做题时就能够体现出来，所以说通过做题才能发现自己存在的一些不足。二、本章知识梳理插值与逼近代数插值Hermite插值样条插值一元函数插值二元函数插值类别方法定义插值公式：)()()()(11xwxqxpxHnmnnm，其中)(xpn应根据已知条件，使用Newton插值法构Newton插值多项式，最后根据已知条件求解)(1xHnmNewton插值Lagrange插值三次样条插值问题第一种边界条件第二种边界条件第三种边界条件三角插值与快速Fourier变换最佳平方逼近正交多项式概念插值与逼近性质Hermite多项式Legendre多项式Chebyshev多项式Laguerre多项式常用的正交多项式概念条件唯一的求法曲线拟合三、本章思考题插值与拟合有什么区别？不同点：插值需要构造的函数正好通过各插值点,拟合则不要求,只要均方差最小即可，对实验数据进行拟合时,函数形式通常已知,仅需要拟合参数值，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点，而插值是找到一个连续曲面来穿过这些点。相同点：都需要根据已知数据构造函数，可使用得到的函数来计算未知点的函数值。四、本章测验题如果牛顿插值多项式()npx求过节点(2,17),(0,1),(1,2),(2,19)的，计算2(0.9)P解：列出差商表，如下nx()nfx一阶差商二阶差商-21701(2,0)8f12(0,1)1f(2,0,1)3f219(1,2)17f(0,1,2)8f2001001201()()[,]()[,,]()()Pxfxfxxxxfxxxxxxx得:2()178(2)3(2)pxxxx故2(0.9)178(0.92)3(0.92)0.91.63p