数值分析(颜庆津)第5章学习小结

1第5章插值与逼近--------学习小结一、本章学习体会插值法是一种很常见的方法，在一些工具书中，经常使用插值法来读取一些表的数据，但是经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。而如何寻找这样的一个插值函数，以及怎样尽可能的寻找截段误差小的函数就是本章解决的问题。本章内容繁多，但插值函数其实就是由N个线性无关的多项式组组成。在理解时，可以按向量来理解。在梳理本章内容时，也可以按照这样的思路来理解：从插值方法，到插值条件，到插值多项式，到截断误差，再到如何控制截断误差，再思考有没有更好的方法？以样条函数为例，样条函数已经在AutoCAD、UG、origin等软件中广泛应用，也有一些学者，编写程序改进现有的样条函数，以减小误差。本章的内容很多，插值与逼近的方法更是不胜枚举。最重要的是，我们要理解每种方法的思路，以期将其用的得心应手。二、本章知识梳理本章主要介绍插值与逼近，是指用某个简单的函数在满足一定的条件下，在某个范围内近似代替某个复杂或者解析表达式未知的函数，以便简化对后者的各种计算或者揭示后者某些性质。函数插值是对函数的离散数据建立简单的数学模型。5.1代数插值代数插值就是插值函数为多项式的插值问题。本章介绍代数插值有二个方法：Lagrange（拉格朗日）插值多项式、Newton（牛顿）插值多项式。1、插值的相关定义（1）、在次数不高于n的多项式集合},...,{D10nnSpan中寻找多项式2knkkncxp0)(使其满足条件),...,1,0)(()(nixfxpiin，此问题为一元函数的代数插值问题。nxxx,...,,10成为插值节点；)(xf为被插值函数；),...,1,0)((nkxk称为插值基函数；),...,1,0)(()(nixfxpiin为插值条件；knkkncxp0)(为n次插值多项式。（2）满足knkkncxp0)(的n次插值多项式事存在且唯一的。（3）设实数nxxx,...,,10互异，称比值010110)()(],[xxxfxfxxf为)(xf关于节点10,xx的一阶差商。称比值121020210],[],[],,[xxxxfxxfxxxf为)(xf关于节点2,10,xxx的二阶差商。一般的，设)(xf的k-1阶差商已定义，则比值1110210210],...,,[],,...,,[],...,,[kkkkkkxxxxxfxxxxfxxxxf为)(xf关于节点kxxx,...,10的k阶差商(k=2,3,…,n)特殊的，)(ixf称为)(xf关于ix的零阶差商。2、插值多项式的表达式（1）Lagrange（拉格朗日）插值多项式),...,1,0()(0nkxxxxxlnkjjjkjkLagrange（拉格朗日）插值多项式的基函数kikixlik,0.1)()()()(0knkknxfxlxpLagrange（拉格朗日）插值多项式（2）Newton（牛顿）插值多项式))...()(](...,[...))(](,,[)](,[)()(110,10102100100nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxp3为Newton（牛顿）插值多项式。任一交换节点的次序所得到的的各个n次Newton（牛顿）插值多项式都是同一个n次多项式。（3）由于满足条件),...,1,0)(()(nixfxpiin的n次插值多项式是唯一的，所以Lagrange（拉格朗日）插值多项式和Newton（牛顿）插值多项式是同一个n次多项式。（4）插值余项插值余项即误差设nxxx,...,,10是互异的实数，对于给定的实数x,实值函数阶导数具有在区间1nI)(xtf，则插值公式)()(xpxfn的余项为)()!1()()(1)1(xwnfxRnnn))...()(](,,...,[)(1010nnnxxxxxxxxxxfxR可得差商与导数的关系：)!1()(],,...,[)1(10nfxxxxfnn3、插值多项式的选择（1）尽量使截断误差绝对值小一些。影响因素主要是插值多项式的次数n和插值节点的选择。（2）采用分段低次插值。5.2Hermite插值1、Hermite插值的定义2、Hermite插值多项式的构造)()()()(11xwxqxpxHnmnnm3、Hermite插值多项式的余项mkinnmnmnkxxxwnmfxHxfxR01)2(1)()()!2()()()()(5.3样条插值41、K次样条函数对于区间[a,b]上的一个分划bxxxxann110...:如果函数)(xs满足条件（1）)(xs在每个子区间)1,...2,1,0](,[1nixxii上是次数不高于K的多项式。（2）)(xs在区间（a,b）上具有K-1阶连续导数，称)(xs是定义在[a,b]上对应于分划的K次多项式样函数。nxxx,...,,10称为样条节点，其中1-1,...,,nxx称为内节点，nxx,0称为边界节点。相应于分划的k次样条函数的全体为,Dk2、样条函数空间,Dk的基对于区间[a,b]上的一个分划bxxxxann110...:,Dk的一组基：1,...,2,1,)(,,...,2,1,0,njxxkjxkjj})(,...,)(,...,,,1{D112,knkkkxxxxxxxspan3、K次样条函数的表示bxaxxckxaxsknjjjjkjj,)(!1)(1104、三次样条插值问题对于区间[a,b]上的一个分划bxxxxann110...:函数)(xf在每个节点处的值为)...,2,1,0)((nixfyii如果三次样条函数,3Ds(x)，满足条件niyxsii,..,2,1,0,)(则称s(x)为函数)(xf的三次样条插值函数。三次样条插值函数：bxaxxcxaxsjnjjiii,)(!31)(31130三种边界条件：（1）nyxsyxs'')('','')(''00（2）nyxsyxs')(',')('005（3）周期性条件)('')(''),(')(),()(000nnnxsxsxsxsxsxs误差估计设)(xf在区间[a,b]上有四阶连续导数，)(xs是关于第一或第二种边界条件的三次样条插值问题，记iniiiihhxxh11max,则有估计)2,1,0(4)4()()(mhfasfmmmm其中210,,aaa都是与f和h无关的常数。三次样条插值函数的构造方法：（1）待定系数法bxaxxcxaxsjnjjiii,)(!31)(31130利用边界条件和上面的公式来做（2）三弯矩法三弯矩方程：)1,...,2,1(211niMMMriiiiii其中：iiiiiihhh1,11iiiiiiiiihyyhyyhh111165.5正交多项式5.5.1正交多项式概念与性质1.内积的性质6).(),(fggf；),(),(),(gfkkgfgkf，k为常数；),(),(),(2121gfgfgff；若在ba,上0)(xf，则0),(ff。2.正交多项式的性质1）数乘性2）唯一性3）根的性质4）递推性5.5.2几种常用的正交多项式1、Legendre多项式Legendre多项式重要性质：1)、Legendre多项式系)(xLn是区间1,1上的正交多项式系。2）、)(xLn的最高次项系数为2)!(2)!2(nnann3）、n为奇数时，)(xLn为奇数，n为偶数时)(xLn为偶函数。4）、满足递推关系：当1n时，有)(1)(112)(11xLnnxxLnnxLnnnChebyshev多项式Chebyshev多项式重要性质：)(xTn是x的n次多项式，并且当1n时，)(xTn的最高次项系数为12nna72）Chebyshev多项式系)(xTn是区间1,1上带权211x的正交多项式。3）)(xTn满足递推关系),2,1)(()(2)()(1)(1110nxTxxTxTxxTxTnnn4）当1n时，)(xTn在开区间1.1内有n个互异实零点，它们是ninxi21)(2cosni,,2,15）当n为奇数时，)(xTn为奇数，n为偶数时)(xTn为偶函数。Hermite多项式Hermite多项式重要性质：)(xHn是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为nna2。Hermite多项式系)(xHn是在区间,上带权2xe的正交多项式系。事实上有nmnnmdxxHxHennmx,!2,0)()(25.6函数的最佳平方逼近5.6.1最佳平方逼近的概念与解法1、最佳平方逼近的概念2、最佳平方逼近的充分必要条件设baCxf,)(，nHxp)(是子空间nH中对于xf的最佳平方逼近元素的充分必要条件是0),(jpf，nj,,1,0或对任一个nHxp，总有0),(ppf3、最佳平方逼近元素是唯一的8设baCxf,)(。则在子空间nH中对于xf的最佳平方逼近元素是唯一的。4、最佳平方逼近元素的求法xcxknkk0求系数kc5、最佳平方逼近误差),(ff均方误差：),(),(0fcffknkk5.6.2、正交函数系在最佳平方逼近的应用设xxxxn,,,,210为ba,上带权x正交函数系，则kkkkfc,,，nk,,2,1,01、Legendre多项式的应用对于给定的函数1,1)(Cxf，要求)(xf在1,1上的n次最佳平方逼近多项式)(xpn，前已指出，这个问题相当于在内积为badxxgxfgf,的情形下，在子空间nnxxxspanxH,,,,1)(2中寻求对xf的最佳平方逼近元素)(xpn。今对该nH另取一组基底，即nnLLLspanxH,,,)(10其中xLj是j次Legendre多项式。此时，法方程),(,0jjknkkfc的解9可直接得到，即dxxfxLkLLLfckkkkk)(0(212,,11),,1,0(nk所求的n次最佳平方逼近多项式为)()(0xLcxpnkkkn，11x如果所给的区间不是1,1，而是一般的有限区间ba,，那么，可以通过变量置换22abbax将它转化为区间的11t的情形来处理。2）设1,1)(Cxf，则由式)()(0xLcxpnkkkn（11x）和系数公式dxxfxLkLLLfckkkkk)()(212,,11),,1,0(nk所确定的多项式)(xpn。当n时均方收敛于)(xf，即0),(limnnnpfpf若1,1)(Cxf，则当n时多项式)(xpn在区间1,1上一致收敛于)(xf，即0)()(maxlim11xpxfnxn当n时由系数公式dxxfxLkLLLfckkkkk)()(212,,所确定的式)()(0xLcxpnkkkn就成为一个无穷级数：)(0xLcnkkk，11x2、Chebyshev多项式的应用1）内积dxxxgxfgf1121)()(,10并取1,1C的一