数值分析作业

11题目要求...............................................................................................................................21.1Runge’sphenomenon.....................................................................................................21.2ThisisthefamousBrusselatorproblem..........................................................................22算法设计方案.....................................................................................................................22.1拉格朗日（Lagrange）插值.........................................................................................22.2分段插值........................................................................................................................32.3Hermite插值...................................................................................................................32.4.1复合梯形公式.............................................................................................................42.4.2复合Simpson公式......................................................................................................42.5龙贝格（Romberg）方法.............................................................................................42.6龙格-库塔(Runge-Kutta)方法........................................................................................53.源程序..................................................................................................................................63.1Lagrange插值9次.........................................................................................................63.2分段插值1次，分别加密2次；第一次分5段，计算-0.5和0.5的函数值。......63.3Hermite插值两点三次，分别加密2次；第一次分5段，计算-0.5和0.5函数值。...............................................................................................................................................63.4复合梯形公式和复合辛普森公式求积分，分别加密3次，第一次分5段。.........73.5龙贝格（Romberg）方法。..........................................................................................73.6龙格-库塔法....................................................................................................................94.计算结果............................................................................................................................114.1第一次作业计算结果..................................................................................................114.2第二次作业计算结果图像。.......................................................................................1321题目要求1.1Runge’sphenomenonf(x)=11+25𝑥21.Lagrange插值9次2.分段插值1次，分别加密2次；第一次分5段，计算-0.5和0.5的函数值。3.Hermite插值两点三次，分别加密2次；第一次分5段，计算-0.5和0.5函数值。4.复合梯形公式和复合辛普森公式求积分，分别加密3次，第一次分5段。5.龙贝格（Romberg）方法。1.2ThisisthefamousBrusselatorproblemA→XB+X→Y+D2X+Y→3XX→Ed[X]dt=𝑘1[A]−𝑘2[B][𝑋]+𝑘3[𝑋]2[𝑌]−𝑘4[𝑋]d[Y]dt=𝑘1[B][𝑋]−𝑘3[𝑋]2[𝑌]𝑘1=𝑘2=𝑘3=𝑘4=1(𝑚𝑜𝑙𝑒/𝑙𝑠)−12算法设计方案2.1拉格朗日（Lagrange）插值基本插值多项式l𝑘(𝑥)l𝑘(𝑥)=(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)-…(𝑥−𝑥𝑘−1)(𝑥−𝑥𝑘+1)…(𝑥−𝑥𝑛)(𝑥𝑘−𝑥0)(𝑥𝑘−𝑥1)-…(𝑥𝑘−𝑥𝑘−1)(𝑥𝑘−𝑥𝑘+1)…(𝑥𝑘−𝑥𝑛)满足P𝑛(x𝑖)=f(x𝑖)，i=0,1,2，…，n的插值多项式为：P𝑛(x)=𝑙0(𝑥)𝑓(x0)+𝑙1(𝑥)𝑓(x1)+⋯+𝑙𝑛(𝑥)𝑓(x𝑛)由𝑙𝑘(𝑥i)={1-𝑖=𝑘0-i≠k，可以很容易的验证P𝑛(x)是P𝑛(x𝑖)=f(x𝑖)，i=0,1,2，…，n的插值多项式。这∑𝑙𝑘(𝑥)𝑓(x𝑘)𝑛k=0的插值多项式称为朗格朗日插值多项式，记为𝐿𝑛(𝑥)。用matlab实现,其中𝑓(x𝑖)用外层循环实现,-l𝑘(𝑥)中的𝑥𝑘也在外层循环的控制下,但是还要在𝑖=𝑘的条件下遍历𝑥0到𝑥𝑛,这一部分用内部循环,这样两3层循环嵌套就可以完成整个数值多项式的求解P𝑛(x)=𝑙0(𝑥)𝑓(x0)+𝑙1(𝑥)𝑓(x1)+⋯+𝑙𝑛(𝑥)𝑓(x𝑛)。（matlab中的向量中元素是从1开始表示的）2.2分段插值在节点较多的情况下,为了提高差值精度,我们常常采用分段低次插值的方法。对于节点𝑥0𝑥1⋯𝑥𝑛−1𝑥𝑛，把插值区间[𝑥0,𝑥𝑛]分成n个小区间[𝑥i−1,𝑥𝑖]，i=1,2,3…n。在每个小区间上做一次插值，就可以得到整个插值区间上的一个分段线性函数：𝑥−𝑥𝑖𝑥𝑖−1−𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖−1)+𝑥−𝑥𝑖−1𝑥𝑖−𝑥𝑖−1𝑓(𝑥𝑖)，𝑥𝑖−1≤𝑥≪𝑥𝑖，i=1,2,3…,n这成为𝑓(𝑥)的分段一次插值。其几何意义就是用一条折线近似原来的曲线。将-1到1之间平均分成5段，然在每段之间使用线性朗格朗日插值。给定一个x值，先判断此x值所在的分段，然后对这一段使用朗格朗日插值，求出在这一分段内的插值函数，最后求出x值在插值函数中相对应的值。加密一次分成5段区间，加密两次分成10段区间。2.3Hermite插值插值的特点是强调被插函数𝑓(𝑥)与插值函数P(𝑥)在节点处有相同的函数值，即两条曲线y=-𝑓(𝑥)和y=-P(𝑥)通过公共点(𝑥𝑖,𝑓(𝑥𝑖))，但以何种方式通过此点，则不做要求，因此有可能一条曲线在该点附近是上升趋势，而另一条曲线在该点附近是下降趋势。这样，尽管两条曲线虽然通过同一个点，但在这点的附近，两条曲线有较大的差异。如果我们不仅要求P(𝑥𝑖)=-𝑓(𝑥𝑖)，还要求P′(𝑥𝑖)=-𝑓′(𝑥𝑖)，这样，两条曲线在(𝑥𝑖,𝑓(𝑥𝑖))处就有公切线，这样两条曲线就能吻合的更好。若进一步要求P′′(𝑥𝑖)=-𝑓′′(𝑥𝑖)，这时链条曲线在(𝑥𝑖,𝑓(𝑥𝑖))处有相同的凹凸性。若跟高阶的导数，尽管说不出几何意义，但可以想见，更高阶的倒数在节点处也相同，则两条曲线的吻合程度会更好。两点三次的Hermite插值是非常常用的插值，即给出了四个条件：𝑥𝑖𝑥0𝑥1𝑓(𝑥𝑖)𝑓(𝑥0)𝑓(𝑥1)𝑓′(𝑥𝑖)𝑓′(𝑥0)𝑓′(𝑥1)满足插值条件的三次Hermite插值多项式为：H3(𝑥)=(1+2𝑥−𝑥0𝑥1−𝑥0)(𝑥−𝑥1𝑥0−𝑥1)2-𝑓(𝑥0)+(1+2𝑥−𝑥1𝑥0−𝑥1)(𝑥−𝑥0𝑥1−𝑥0)2-𝑓(𝑥1)+(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1𝑥0−𝑥1)2-𝑓′(𝑥0)+(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥0𝑥1−𝑥0)2-𝑓′(𝑥1)算法中，现对区间分段，然后给出𝑥𝑖，判断改点所在的区间，求出该区间起点和结束点相对应的函数值和导函数值，代入三次Hermite插值多项式H3(𝑥)，即可求出𝑥𝑖，所对应的插值。42.4.1复合梯形公式梯形公式的几何意义是用割线近似代替曲线，积分为面积，所以曲线下的面积近似于直线下的面积，为b−a2[𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)]，复合梯形公式把[a,b]区间等分成n个小区间[𝑥i−1,𝑥𝑖]，i=1,2,3…,n，在没个小区间用梯形公式∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∑∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑥𝑖𝑥𝑖−1𝑛𝑖=1𝑏𝑎≈∑𝑥𝑖−𝑥𝑖−12[𝑓(𝑥𝑖−1)+𝑓(𝑥𝑖)]𝑛𝑖=1，这个公式称复合梯形公式，即为𝑇𝑛。在复合梯形公式中，没个内节点即时前一个小区间的终点，又是后一个小区间的起点。加密三次，第一次分成5段，第二次为10段，第三次为15段，算法中现对[-1,1]区间进行分段，然后每段进行梯形公式计算，将结果放入sum中，然后计算第二段区间的梯形公式，在放入sum中，知道最后一点，则sum即为该函数在[-1,1]这个区间的复合梯形插值积分。2.4.2复合Simpson公式把[a,b]等分成n个小区间[𝑥i−1,𝑥𝑖],i=1,2,…,n,在每个小区间上用辛普森公式，这时还需要一个的中间点，记为𝑥i−1/2=𝑥i−1+h2，i