数值分析实验指导书(2015)

数值分析课程实验指导书实验一函数插值方法一、问题提出对于给定的一元函数)(xfy的n+1个节点值(),0,1,,jjyfxjn。试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。数据如下：（1）jx0.40.550.650.800.951.05jy0.410750.578150.696750.901.001.25382求五次Lagrange多项式5L()x，和分段三次插值多项式，计算(0.596)f,(0.99)f的值。（提示：结果为(0.596)0.625732f,(0.99)1.05423f）（2）jx1234567jy0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001试构造Lagrange多项式6L()x，计算的(1.8)f,(6.15)f值。（提示：结果为(1.8)0.164762f,(6.15)0.001266f）二、要求1、利用Lagrange插值公式00,()nninkkiikkixxLxyxx编写出插值多项式程序；2、给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；3、根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；4、对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。Newton插值多项式如下：10010,()()[,,]()knnjkkjjkNxfxfxxxx其中：00,0()()[,,]kikiijjjikfxxxfxx三、目的和意义1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、熟悉插值方法的程序编制；4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C或matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果.实验二函数逼近与曲线拟合一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。t(分)05101520253035404550554(10)y01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64二、要求1、用最小二乘法进行曲线拟合；2、近似解析表达式为23123()tatatat；3、打印出拟合函数()t，并打印出()jt与()jyt的误差，1,2,,12j；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、*绘制出曲线拟合图。三、目的和意义1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C或matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果．实验三数值积分与数值微分一、基本题选用复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg算法，计算（1）10sinI=((0)1,0.9460831)xdxfIx（2）120I=4xedxx（3）120ln(1)I=1xdxx二、应用题1.文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万里）在五个不同的时间对小行星作了五次观察，测得轨道上五个点的坐标数据如下表所示：P1P2P3P4P5x坐标5.7646.2866.7597.1687.408y坐标0.6481.2021.8232.5267.408由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，椭圆的一般方程可表示为：现需要建立椭圆的方程以供研究。（1）分别将五个点的数据代入椭圆一般方程中，写出五个待定系数满足的等式，整理后写出线性方程组AX=b。（2）用MATLAB求低价方程组的指令A\b求出待定系数。（3）卫星轨道是一个椭圆，其周长的计算公式是:dacas22sin14式中，a是椭圆的半长轴，是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，。其中h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371(km)为地球半径。有一颗人造卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km)。试分别按下列方案计算卫星轨道的周长，误差限取为。三、要求1、编制数值积分算法的程序；2、对基本题，分别取不同步长()/hban，试比较计算结果（如n=10,20等），并比较其结果；4、对应用题，用给定精度ε，试用(1)用逐次分半梯形法。(2)用逐次分半辛普生法，并确定最佳步长。四、目的和意义1、深刻认识数值积分法的意义；2、明确数值积分精度与步长的关系；3、根据定积分的计算方法，结合专业考虑给出一个二重积分的计算问题。五、实验学时：2学时六、实验步骤：1．进入C或matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果．实验四线方程组的直接解法一、问题提出给出下列几个不同类型的线性方程组，请用适当算法计算其解。1、设线性方程组123456789104231210000865365010042213210310215131194426167332386857172635021342530116101191734212246271392012400183248631xxxxxxxxxx5123234613381921(1,1,0,1,2,0,3,1,1,2)Tx2、设对称正定阵系数阵线方程组12345678424024000221213206411418356200216143323218122410394334411142202531011421500633421945xxxxxxxx(1,1,0,2,1,1,0,2)Tx3、三对角形线性方程组123456789104100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014xxxxxxxxxx7513261214455*(2,1,3,0,1,2,3,0,1,1)Tx二、要求1、对上述三个方程组分别利用Gauss顺序消去法与Gauss列主元消去法；平方根法与改进平方根法；追赶法求解（选择其一）；2、应用结构程序设计编出通用程序；3、比较计算结果，分析数值解误差的原因；4、尽可能利用相应模块输出系数矩阵的三角分解式。三、目的和意义1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点；2、运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法；3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致用；4、通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C或matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果．实验五解线性方程组的迭代法一、问题提出对实验四所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR方法计算其解。二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；2、分别对不同精度要求，如34510,10,10由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子ω=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；4、给出各种算法的设计程序和计算结果。三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；3、体会上机计算时，终止步骤(1)kkxx或k（给予的迭代次数），对迭代法敛散性的意义；4、体会初始解0x，松弛因子的选取，对计算结果的影响。四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C或matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果．实验六非线性方程求根一、问题提出设方程3()310fxxx有三个实根**121.8793,0.34727,xx*31.53209x现采用下面六种不同计算格式，求f(x)=0的根*1x或*2x1、231xxx2、313xx3、331xx4、213xx5、13xx6、32131()31xxxxx二、要求1、编制一个程序进行运算，最后打印出每种迭代格式的敛散情况；2、用事后误差估计1kkxx来控制迭代次数，并且打印出迭代的次数；3、初始值的选取对迭代收敛有何影响；4、分析迭代收敛和发散的原因。三、目的和意义1、通过实验进一步了解方程求根的算法；2、认识选择计算格式的重要性；3、掌握迭代算法和精度控制；4、明确迭代收敛性与初值选取的关系。四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C或matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果．实验七矩阵特征值问题计算一、问题提出利用冪法或反冪法，求方阵()ijnnAa的按模最大或按模最小特征值及其对应的特征向量。设矩阵A的特征分布为：1231nn且jjjAxx试求下列矩阵之一（1）121241116A求1，及1x取(0)5(1,1,1),10T结果116.42106,(0.046152,0.374908,1)Tx（2）427318251147717235312651143532875124A求16,及1x取(0)5(1,0,1,0,0,1),10T结果：16121.30525,1.62139,(0.8724,0.5401,0.9973,0.5644,0.4972,1.0)Tx（3）2112112112112A求1及1x取(0)4(1,1,1,1,1),10T结果3.7321(4)1254261351314312A取T1,1,1,10210这是一个收敛很慢的例子,迭代1200次才达到510结果02857835.81Tx564212.2,757730.0,501460.2,11（5）611142121A有一个近似特征值42.6,试用幂法求对应的特征向量，并改进特征值（原点平移法）。取T1,1,10410结果42107.6Tx1,37918.0,0461465