数值分析实验题(华科)

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数值分析实验作业专业:姓名:学号:第1页共13页实验2.1多项式插值的振荡现象[问题提出]:考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数,显然Lagrange插值中使用的节点越多,插值多项式的次数就越高,我们自然关心插值多项的次数增加时,Ln(x)是否也更加靠近逼近的函数,Runge给出的例子是极著名并富有启发性的,设区间[-1,1]上函数21()125fxx[实验内容]:考虑区间[-1,1]的一个等距离划分,分点为21,0,1,2,...,iixinn则拉格朗日插值多项式为201()()125nniiiLxlxx其中,()ilx,i=0,1,2,…,n是n次Lagrange插值函数。[实验要求]:(1)选择不断增大的分点数目n=2,3,…画出原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在[-1,1]上的图像,比较并分析实验结果。(2)选择其他的函数,例如定义在区间[-5,5]上的函数,4(),()arctan1xhxgxxx重复上述的实验看其结果如何。解:以下的f(x)、h(x)、g(x)的为插值点用“*”表示,朗格朗日拟合曲线用连续曲线表示。通过三个函数的拉格朗日拟合可以看到,随着插值点的增加,产生Rung现象。(1)f(x)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91xy多项式求值的振荡现象n=2f(x)lagrange(x)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91xy多项式求值的振荡现象n=3f(x)lagrange(x)第2页共13页-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.4-0.200.20.40.60.81xy多项式求值的振荡现象n=4f(x)lagrange(x)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2xy多项式求值的振荡现象n=5f(x)lagrange(x)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2xy多项式求值的振荡现象n=6f(x)lagrange(x)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91xy多项式求值的振荡现象n=7f(x)lagrange(x)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xy多项式求值的振荡现象n=8f(x)lagrange(x)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.4-0.200.20.40.60.81xy多项式求值的振荡现象n=9f(x)lagrange(x)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6xy多项式求值的振荡现象n=10f(x)lagrange(x)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91xy多项式求值的振荡现象n=11f(x)lagrange(x)第3页共13页(2)h(x)-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6xy多项式求值的振荡现象n=2h(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6xy多项式求值的振荡现象n=3h(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6xy多项式求值的振荡现象n=4h(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8xy多项式求值的振荡现象n=5h(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6xy多项式求值的振荡现象n=6h(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.5xy多项式求值的振荡现象n=7h(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6xy多项式求值的振荡现象n=8h(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-3-2-10123xy多项式求值的振荡现象n=9h(x)lagrange(x)第4页共13页-5-4-3-2-1012345-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xy多项式求值的振荡现象n=10h(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-1012345xy多项式求值的振荡现象n=11h(x)lagrange(x)(3)g(x)-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.5xy多项式求值的振荡现象n=2g(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-2-1.5-1-0.500.511.52xy多项式求值的振荡现象n=3g(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.5xy多项式求值的振荡现象n=4g(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.5xy多项式求值的振荡现象n=5g(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.5xy多项式求值的振荡现象n=6g(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-2-1.5-1-0.500.511.52xy多项式求值的振荡现象n=7g(x)lagrange(x)第5页共13页-5-4-3-2-1012345-2-1.5-1-0.500.511.52xy多项式求值的振荡现象n=8g(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.5xy多项式求值的振荡现象n=9g(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.5xy多项式求值的振荡现象n=10g(x)lagrange(x)-5-4-3-2-1012345-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5xy多项式求值的振荡现象n=11g(x)lagrange(x)第6页共13页实验3.1最小二乘法拟合编制以函数0{}knkx为基的多项式最小二乘拟合程序,并用于对表中的数据作三次多项式最小二乘拟合。ix-1.0-0.50.00.51.01.52.0iy-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取权数1i,求拟合曲线**0nkkkx中的参数{}k,平方误差2,并作离散数据{,}iixy的拟合函数*()yx的图形。解:三次多项式的拟合曲线为:230123()yxaaxaxax此题中权函数()1x,即W=(1,1,1,1,1,1,1)利用法方程TTAAa=AY求解这个方程组,就可以得到系数a。解之得:501230.54912,3.968310,2.9977,1.9991故拟合的函数为:5230.549123.9683102.99771.9991yxxx,平方误差为:2.176191667187105e-05拟合的函数图像如下:-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345xy3次多项式拟合,平方误差=2.1762e-05离散值拟合曲线第7页共13页实验5.1常微分方程性态和R-K法稳定性试验[试验目的]:考察下面的微分方程右端项中函数y前面的参数对方程性态的影响(它可使方程为好条件的或坏条件的)和研究计算步长对R-K法计算稳定性的影响。[实验题目]:常微分方程初值问题,1)0(10,1yxxyy其中,5050。其精确解为xexyx)([实验要求]:(1)对于参数,分别去四个不同的数值:一个大的正值,一个小的正值,一个绝对值小的负值和一个绝对值大的负值。取步长01.0h,分别用经典R-K法计算,将四组计算结果画在同一张图上,进行比较并说明相应初值问题的性态。(2)对于参数为一个绝对值不大的负值和两个计算步,一个计算步使参数h在经典R-K法的稳定域内,另一个步长在经典的R-K法的稳定域外。分别用经典R-K法计算并比较计算结果。取全域等距的10个点上的计算值,列表说明。解:对于4阶R-K法绝对稳定区为:0h785.2这里,所以绝对稳定区为:0h785.2(1)对于01.0h,绝对稳定区:05.278a21-1-2h0.010.010.010.0100.10.20.30.40.50.60.70.80.910123456789xy微分方程数值解精确解数值解第8页共13页(2)对于20,稳定区1391.0h0a-20-20h0.010.1500.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.911.1xy微分方程数值解,a=-20,h=0.01精确解数值解00.10.20.30.40.50.60.70.80.9012345678xy微分方程数值解,a=-20,h=0.15精确解数值解xy(精确解)数值解y1(a=-20,h=0.01)y1-y数值解y2(a=-20,h=0.15)y1-y0.150.1997870.1997892.35E-061.5250001.3252130.300.3024790.3024792.34E-072.1906251.8881460.450.4501230.4501231.75E-083.0496092.5994860.600.6000060.6000061.16E-094.1744633.5744570.750.7500000.7500007.23E-115.6648864.9148860.900.9000000.9000004.32E-127.6579696.757969可见h=0.01时,数值解稳定h=0.15时,数值解不稳定。第9页共13页程序源代码functiontestCharpt2_1%对数值分析实验题第2章第1题进行分析promps={'输入f为选择f(x);输入h为选择h(x);输入g为选择g(x)'};result=inputdlg(promps,'请选择实验函数');chooseFunction=char(result);switchchooseFunctioncase'f'f=inline('1./(1+25*x.^2)');a=-1;b=1;nameFuc='f(x)';case'h'f=inline('x./(1+x.^4)');a=-5;b=5nameFuc='h(x)'case'g'f=inline('atan(x)');a=-5;b=5nameFuc='g(x)'end%promps2={'n='};%nNumble=inputdlg(promps2,'请输入分点数n');nNumble=[2:11]fori=1:length(nNumble)x=linspace(a,b,nNumble(i)+1);y=feval(f,x);xx=a:0.1:b;yy=lagrange(x,y,xx)figurefplot(f,[a,b],'*')holdonplot(xx,yy,'LineWidth',2)xlabel('x')ylabel('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