数值分析思考题

数值分析重点考察内容第一章：基本概念第二章：Gauss消去法，Lu分解法第三章：题型：具体题＋证明，误差分析三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明第四章：掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数第五章：最小二乘法计算第六章：梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。高斯求积公式的构造第七章：几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。第九章：基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）,简单欧拉法。第一章误差1.科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。2.用Taylor展开近似计算函数000()()'()()fxfxfxxx，这里产生是什么误差？3.0.7499作34的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______.0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字.4.改变下列表达式，使计算结果比较精确：（1）11,||1121xxxx（2）111,||1xxxx（3）1cos,0,||1.xxxx（4）sinsin,5.采用下列各式计算6(21)时，哪个计算效果最好？并说明理由。（1）61(21)（2）99702（3）6(322)（4）31(322)6.已知近似数*x有4位有效数字，求其相对误差限。上机实验题：1、利用Taylor展开公式计算0!kxkxek，编一段小程序，上机用单精度计算xe的函数值.分别取x=1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法.2、已知定积分10,0,1,2,,206nnxIdxnx,有如下的递推关系1111100(6)61666nnnnnxxxxIdxdxIxxn可建立两种等价的计算公式(1)1016,0.154nnIIIn取；(2)12011),0.6nnInIIn（取来计算123419,,,,,IIIII，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。第二章插值法1.已知(0)2,(1)1ff，那么差商[1,0]f_________.2.n阶差商与导数的关系是01[,,,]nfxxx__________________.3.由导数和差商的关系知，[,]iifxx=__________________。4.已知函数()fx在3,1,4x的值分别是4，6，9，试构造Lagrange插值多项式。5.取节点0120,1,2xxx,对应的函数值和导数值分别为0()1,fx11()2,'()2fxfx，试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为2'()2fx，插值多项式如何计算？)6．已知(0)1,(1)2,'(1)3,(2)9ffff，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项.7.设4()[,]fxCab,求三次多项式3()px,使之满足插值条件11()(),0,1,2'()'()iipxfxipxfx8.设1()Px是过01,xx的一次插值多项式，2()[,],fxCab其中[,]ab是包含01,xx的任一区间。试证明：对任一给定的[,]xab，在（a,b）上总存在一点，使得101()()()()()()2!fRxfxPxxxxx。9.证明关于互异节点0{}niix的Lagrange插值基函数0{()}niilx满足恒等式01()()()1nlxlxlx上机习题：1.绘制4题的Lagrange的插值函数的图像。第三章数据拟合1.数据拟合与插值的区别是什么？2.最小二乘原理是使偏差i的___________达到最小3.求过点（2,3），（0,1），（3,5）的线性拟合函数。4.用最小二乘法求一形如2yabx的多项式，使与下列数据相拟合x1925313844y19.032.349.073.397.8第四章线性方程组的直接解法1.线性方程组的解法大致可分为_____________，________________。2.平方根法和LDLT分解法要求系数矩阵A满足______________。3.上三角和下三角方程组的解法分别称为___________，____________。4.严格对角占优矩阵的定义是什么？5.试求下面矩阵的杜利特尔分解（1）6234。（2）213457285。6.用列主元高斯消去法求解方程组1231521043132063xxx。7.用LU分解法解方程组1232111616110272xxx。上机实验题：1.编程实现列主元的高斯消去法2.编程实现LU分解法第五章线性方程组的迭代解法1.向量(3,2,1,7)Tx，计算1||||x，2||||x，||||x.2.A=312010126，计算1||||A，2||||A，||||A.3.2003A,分别计算A的谱半径()A,条件数cond()A，1||||A4.矩阵A的范数与谱半径的关系为__________________________。5.求解AX=b的迭代格式(1)()kkxBxg收敛的充分必要条件____________________。6.SOR迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子______________。7.写出下面方程的Jacobi迭代格式1231231231027102854xxxxxxxxx8.给定下列方程组，判断对它们构造的Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式是否收敛（1）131252728xxxx（2）123121355251285xxxxxxx9.对下列方程组建立收敛的简单迭代公式（提示：先调整方程组）123162132624114xxx10.给定方程组123122111122211xxx，（1）分别写出Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式。（2）证明Jacobi迭代法收敛，而Gauss-Seidel迭代法发散。上机实验题：1.求解方程组：1231231231027102854xxxxxxxxx以(0)(1,1,1)Tx为初值，当(1)()4||||10kkxx时迭代终止。(1)编写Jacobi迭代法程序(2)编写Gauss-Seidel迭代法程序第六章数值积分与数值微分1.()bafxdx的梯形求积公式是________，Simpson公式是_______，其代数精度分别为_____，____。2.n点Gauss求积公式的代数精度为___________.3.确定下列求积公式中的待定系统，使得求积公式的代数精度尽量的高，并指明代数精度（1）101()()(0)()hhfxdxAfhAfAfh(2)11211()[(1)2()3()]3fxdxffxfx(3)10100()(0)(1)'(0)fxdxAfAfBf4.分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式、Gauss求积公式计算积分11xedx，并估计各种方法的误差。5.写出11()fxdx二点和三点的Gauss-Legendre求积公式.6.分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算下列积分.10,(8)4xdxnx7.确定求积公式10101()()(1)2fxdxAfAf的求积公式，并求其代数精度。8.构造如下形式的Gauss求积公式：100110()()()xfxdxAfxAfx.9.构造如下形式的Gauss求积公式：100111()()()fxdxAfxAfx.上机实验题：1.编程实现五点Gauss积分算法。第七章非线性方程与非线性方程组的解法1.求解非线性方程的根，牛顿法的收敛阶是________，割线法的收敛阶是____________.2.确定下列方程的有根区间(1)32720xx(2)20xex3.试用牛顿法和弦截法建立计算1,(0)cc的迭代格式。4．试建立计算1,(0)aa的两种收敛的迭代格式。5．建立计算,(0)aa的牛顿迭代格式，并求10，保留4位有效数字。(迭代求解3次即可)6.用不动点迭代法计算2222的近似值.7.设初值00x,计算1,(0)aa的迭代格式1(2),0,1,2,kkkxxaxk。试证：（1）此迭代格式二阶收敛.（2）此迭代格式收敛的充分必要条件为0|1|1ax.上机实验题：1.用割线法求方程32210200xxx的根，要求61||10kkxx第八章常微分方程初值问题的数值解法1.求解常微分方程'(0)1yxyy的Euler公式为______________________,其局部截断误差的阶数为_________，整体截断误差的阶数为__________.(设步长为h)2.应用向前欧拉格式求解初值问题'1,01(0)1yxyxy取步长h=0.1，将计算结果与精确解xyxe对照.