数值分析插值拟合

15题库分类填空题1.绪论部分(1).设x=3.214,y=3.213，欲计算u=yx,请给出一个精度较高的算式u=.u=yxyx(2).设y=f(x1,x2)若x1,x2,的近似值分别为x1*,x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝对误差限的估计式为:||f(x1*,x2*)|x1-x*1|+|f(x1*,x2*)|x2-x*2|(3).要使20的近似值的相对误差限0.1%,应至少取_______位有效数字？20＝0.4…10,a1=4,r121a10-(n-1)0.1%故可取n4,即4位有效数字。(4).要使17的近似值的相对误差限0.1%,应至少取_________位有效数字？17＝0.4…10,a1=4,r121a10-(n-1)0.1%故可取n3.097,即4位有效数字。(5).对于积分In=e-110xnexdx试给出一种数值稳定的递推公式_________。In-1=(1-In)/n,In0易知I0=1-e-1In=1-nIn-1故In-1=(1-In)/n0In1/(n+1)0(n)取In0选择填空(6).计算f=(2-1)6,取2＝1.4,利用下列算式，那个得到的结果最好？(C)(A)6121)(,(B)(3-22)2,(C)32231)(,(D)99-7022.方程的根(1).用用NNeewwttoonn法法求求方方程程ff((xx))==xx33++1100xx--2200==00的的根根，，取取初初值值xx00==11..55,,则则xx11==((33))xx11==11..55997700114499((22))..迭迭代代公公式式xxkk++11==xxkk((xxkk22++33aa))//((33xxkk22++aa))是是求求aa11//22的的(12)阶阶方方法法(3).3.方程组直接解法4.迭代解法(1).设线性方程组的系数矩阵为A=6847153131483412,全主元消元法的第一次可选的主元素为(13)，第二次可选的主元素为(14).列主元消元法的第一次主元素为(15)；第二次主元素为(用小数表示)(16);记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为BG=(aij)44，则a23=(17)；-8，或8；8+7/8或-8-7/8；-8；7.5；16第1章插值§1.填空(1).设Pk(xk,yk),k=1,2,…,5为函数y=x2-3x+1上的5个互异的点，过P1,…,P5且次数不超过4次的插值多项式是______。y=x2-3x+1(2).设x0,x1,x3是区间[a,b]上的互异节点，f(x)在[a,b]上具有各阶导数，过该组节点的2次插值多项式的余项为：______.R2(x)=)(!3)(20)3(kkxxf(3).设)())(()()())(()()(110110niiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxl(i=0,1,…,n)，则nkkkxlx0)(＝______,这里（xixj,ij,n2）。x(4).三三次次样样条条插插值值与与一一般般分分段段33次次多多项项式式插插值值的的区区别别是是__________三三次次样样条条连连续续且且光光滑滑，，一一般般分分段段33次次连连续续不不一一定定光光滑滑。。((55))..插插值值多多项项式式与与最小二乘拟合多项式都是对某个函数ff((xx))的的一种逼近，二者的侧重点分别为________。((66))..§2.计算题(1).(a10分)依据下列函数值表，建立不超过3次的lagrange插值多项式L3(x).x0123f(x)19233解：基函数分别为l0(x)=-81x3+87x2-47x+1l1(x)=xxx3823123l2(x)=xxx234541l2(x)=xxx1218124123Lagrange插值多项式L3(x)=nkkkxlxf0)()(=12144541123xxx.(2).(b10分)已知由插值节点(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)构造的3次插值多项式P3(x)的x3的系数为6，试确定数据y.解：P3(x)＝nkkkxlxf0)()(故最高次项系数为))()(()())()(()())()(()())()(()(2313033321202231210113020100xxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxf带入数值解得y=4.25.(3).(c15分)设lk(x)是关于互异节点x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函数，证明111,2,...,0,010100njxxxnjjlxnnnkkjk...)(,)(证明：11101)()!()()()()(xwnfxlxxfnnknknk其中，wn+1(x)=njjxx0)(故当0jn时，nkkjkxlx0)(=xj,17当j=n+1时，xn+1=)()()(xwxlxxfnknknk101将x=0带入ok!(4).(c10分)设lk(x)是关于互异节点x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函数，证明)()(xlxxfknknk01是n次多项式，且最高次系数为x0+…+xn,证：查111011)()!()()()(xwnfxlxxnnknknkn--5分注意余项111)()!()()(xwnfnn=njjnxxxw01)()()(xlxxknknkn011=xn+1-wn+1(x)---5分ok!(5).(c10分)设函数f(x)是k次多项式，对于互异节点x1,…,xn,，证明当nk时，差商f[x,x1,…,xn]0，当nk时，该差商是k-n次多项式。证明：因1!)(],,,[)(nfxxxfnn注意到nk时，f(n)(x)=0，n=k时，f(n)(x)=k!ak，ak为f(x)的k次项系数。(7f)nk-1由差分定义递推,查n=k-1,k-2,…(3f)ok!(6).(c10分)设g(x)和h(x)分别是f(x)关于互异节点x1,…,xn-1以及互异节点x2,…,xn的插值多项式，试用g(x)和h(x)表示f(x)关于互异节点x1,…,xn的插值多项式.解：令q(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1)为待定n次多项式，A,B为待定系数，注意到g(xk)=f(xk),k=1,…,n-1h(xk)=f(xk),k=2,…,n-------(7f)带入得A=1/x1-xn,B=1/xn-x1,带入ok!(7).(a10f)设lk(x)是关于互异节点x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函数，证明(1)mnkkmkxxlx0)(m=0,1,…,n(2)nkkmkxlxx0)()(0m=1,2,…,n证明：由插值唯一性定理知(1)。展开知（2）(8).(a10f)证明对于不超过k次的多项式p(x)有),()()(xpxlxpnkkk0knlk(x)是关于互异节点x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函数证明：由插值唯一性定理知。(9).(a10f)设p(x)是任意首次项系数为1的n+1次多项式，lk(x)是关于互异节点x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函数证明nknkkxwxlxpxp01)()()()(其中njjnxxxw01)()(证明：插值余项直接计算ok!(10).(a10f)已知函数y=f(x)在点x0的某邻域内有n阶连续导数，记xk=x0+kh(k=1,2,…,n),证明0100!)(],,,[lim)(nxfxxxfnnh证明：因!)(],,,[)(nfxxxfnn10(x0,x0+nh)注意到n阶导数连续性，两边取极限ok!(11).(c10f)用等节距分段二次插值函数在区间[0,1]上近似函数ex,如何估算节点数目使插值误差2110-6.解：考虑子区间[xi-1,xi]二次插值余项1863121121321))()((max))()((!)()()(//)(iiixxxiiixxxxxxexxxxxxfxPxfii令x=xi+1/2+s(h/2)上式化简为9324881163311ehhssses)()(max令63102193248eh得h0.028413故子区间个数为N=2/h70.4,取N=71故插值节点数为2N+1=143(12).(b10分)设f(x)在区间[a,b]上有二阶连续导数，P1(x)为其以a,b为节点的一次插值多项式，证明],[)(max)()()(baxxfabxPxfbxa821证明：利用插值余项结果可得线性插值多项式P1(x)在子区间[a,b]上的余项估计式，再估计最值ok!],[)(max))((!)()()(//baxxfhbxaxfxPxfbxai8221(13).(b10分)已知s(x)是[0,2]上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定s(x)=2111121021323xxdxcxbxxx,)()()(,中的参数b,c,d解：利用边界条件s/(2-0)=0及样条函数定义可得b=-1,c=-3,d=1(14).(b10分)判断下面2个函数是否是[-1,1]上以0为内节点的三次样条函数。设(1)S(x)=102301-232323xxxxxxxx,,(2)S(x)=102301-2352323xxxxxxxx,,解：(1)是，(2)否。(15).(a10f)令f(x)=x7+x4+3x+1求f[20,21,…,27]及f[20,21,…,28]解：!)(],,,[)(nfxxxfnn10f[20,21,…,27]=1f[20,21,…,28]=0(16).(a10f)证明n阶均差有下列性质：(1)若F(x)=cf(x),则F[x0,x1,…,xn]=cf[x0,x1,…,xn](2)若F(x)=f(x)+g(x),则F[x0,x1,…,xn]=f[x0,x1,…,xn]+g[x0,x1,…,xn]证明：nkkknxfaxxxf010)(],,,[其中，ak=)())(()(1110nkkkkkkxxxxxxxxok!(17).(a10f)回答下列问题：（1）什么叫样条函数？（2）确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要多少？（3）三转角法中参数mi的数学意义是什么？答：（1）略（2）4n个（3）mi=S/(xi)即样条函数在节点xi处的一阶导数。(18).(a10f)回答下列问题：（1）何谓Hermite插值问题？（2）Hermite插值与一般多项式插值有什么区别？19第2章拟合((11))..采采用用正正交交多多项项式式拟拟合合可可避避免免最最小小二二乘乘或或最最佳佳平平方方逼逼近近中中常常见见的的(9)问问题题..(2).在函函数数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的(10)范数.在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的(11)范数.无穷范数||f||；2-范数((33))..§3.计算题(1).(b10f)设f(x)[-a,a]的最佳一致逼近多项式为P(x),试证明(1)f(x)是偶函数时P(x)也是偶函数；(2)f(x)是奇函数时P(x)也是奇函数。证明：（1）令t=-x,考查axamax|f(x)-P(x)|=atamax|f(-t)-P(-t)|=atamax|f(t)-P(-t