数值分析期末试题

1第一套一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组：112123454321321321xxxxxxxxx二、（10分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)=—2,y(0)=1,y(1)=—4三、（12分）分别用梯形公式和辛普生公式构造复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分：91dxxn=4四、（10分）证明对任意参数t，下列龙格－库塔方法是二阶的。五、（14分）用牛顿法构造求c公式，并利用牛顿法求115。保留有效数字五位。六、（10分）方程组AX=B其中A=10101aaaa试就AX=B建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a取何值时迭代收斂。七、（10分）试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式22)(}0{)()(aCfBfaAfdxxf有尽可能多的代数精确度。并求该公式的代数精确度。八、{6分}证明：VAVA其中A为矩阵，V为向量.第二套一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组：322214332132132xxxxxxxx二、（12分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=y(0)=0,y(1)=y(1)=1,y(2)=1三、（14分）分别用梯形公式和辛普生公式构造复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用13121231)1(,)1((),(),()(2hktyhtxfkthkythxfkyxfkkkhyynnnnnnnn2复化的梯形公式、复化的辛普生公式及其下表计算下列积分：2/0sinxdxx0/122/123/124/125/12/2sinx0.000000.258820.500000.707110.866030.965931.00000四、（12分）证明下列龙格－库塔方法是三阶的。五、（10分）试确定常数A,B,C使得数值积分公式20)2()1()0()(CfBfAfdxxf共2页第2页有尽可能多的代数精确度。并求该公式的代数精确度。六、（14分）用牛顿法构造求c1公式，验证其收敛性。并求1/e(保留4位有效数字)。七、{10分}证明：设非负函数N(x)=x为Rn上任意向量范数，则N(x)是x分量x1,x2,…xn的连续函数.参考答案一、解：（8分）322214332132132xxxxxxxx增广矩阵：12003/13/4102/312/112/102/3014302/312/11321221111431(4分)解得：x1=2/3,x2=-1/3x3=1./2（8分）二、解：（12分）注：直接待定系数简单，或者用牛顿茶商设P(x)=0(x)y(0)+1(x)y(1)+2(x)y(2)+0(x)y’(0)+1(x)y’(1)(4分)解得：1(x)=x2(x-2)22(x)=(1/12)x2(x-1)21(x)=-x2(x-1)(x-2)(4分)P(x)=1(x)y(1)+2(x)y(2)+1(x)y’(1)=1(x)+2(x)+1(x))3/2,3/2()3/,3/(),()3(423121131hkyhxfkhkyhxfkyxfkkkhyynnnnnnnn3=x2(x-2)2+(1/12)x2(x-1)2+x2(x-1)(x-2)(4分)三、解：（14分）推证复化的梯形公式(3分)推证复化的辛普生公式(3分)利用复化的梯形公式2/0sinxdx=0.96593利用复化的辛普生公式2/0sinxdx=1.000003四、（12分）证明：k3=f(xn,yn)+2h/3f’(xn,yn)+(2h/3)2f’’(xn,yn)/2+0(h2)(4分)yn+1=yn+h/4(3k3+k1)=yn+hf(xn,yn)+h2f’(xn,yn)/2+h3/6f’’(xn,yn)+0(h3)(8分)yn+1*=yn+hyn’+h2yn’’/2+h3/6yn’’’+0(h3)yn+1-yn+1*=0(h3)则该公式是三阶的(12分)五、解：（10分）将1，x,x2代入原式得A+B+C=2B+2C=2B+4C=8/3解得：A=1/3，B=4/3C=1/320)2(31}1{34)0(31)(fffdxxf(8分)代数精确度为2(10分)。六、证明：（14分）1/x-c=0Xk+1=xk-)()(kkxfxf=xk(2-cxk)Xk+1-1/c=-c(xk-1/c)2设rk=1-cxkrk+1=rk2反复递推rk=02rk(8分)若选初值0x02/c0r1这时rk趋近于0，从而叠代收敛(10分)用牛顿法构造求1/eX5=0.3679（14分）七、{10分}证明：设x=niiiex1y=niiiey1(4分))(0)()()(11niiiniiiecyxceyxyxyxyNxN)3/2,3/2()3/,3/(),()3(423121131hkyhxfkhkyhxfkyxfkkkhyynnnnnnnn4..(10分)第三套一、（10分）利用列主元素消去法解方程：453311294642321xxx二、（15分）证明下面龙格-库塔方法是三阶的：)43,43()2,2(),()432(93213211hyhxfkhyhxfkyxfkkkkhyynnnnnnnn三、（10分）求3次插值多项式使：P(0)=3,P(1)=5,4)0(P,6)1(P,四、（20分）确定下面公式中的a,b，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数:)]()([)()]()([2)(2bfafababfafabdxxfba五、（20分）分别利用梯形公式和Simpson公式推导复化的梯形公式和Simpson公式，并分别利用复化的梯形公式和Simpson公式计算积分91dxx(n=8)六、（15分）用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10在区间[1,1.5]上的根。（1）要得到具有3位有效数的近似根，须作几次二分；（2）用二分法求具有3位有效数的近似根。七、（10分）设是nnR中的任意范数，nnRA，则有AA)(参考答案五、（10分）利用列主元素消去法解方程：解：541125)45(0215210529445331129)4(642（5分）x1=139/20,x2=5/2,x3=-3/20（10分）六、（15分）证明下面龙格-库塔方法是三阶的：证:)(61)(21)()()(321yhxyhxyhxyxynnnn（5分）))(,(21)21(),(21),(22yfhyxfhyxfknnnn（9分）))(,(21)43(),(43),(23yfhyxfhyxfknnnn（13分）y(xn+1)-yn+1=o(h3)（15分）七、（10分）求3次插值多项式使：P(0)=3,P(1)=5,4)0(P,6)1(P,解：设)()()()()(221121103xpxpxpxpxp（2分）0)1(,0)0,0)1(,1)0(1(1110)1(,0)0(,1)1(,0)0(22220)1(,1)0(,0)1(,0)0(11111)1(,0)0(,0)1(,0)0(2222（6分）)(3xp3+4x-2x2+6x2(x-1)（10分）八、（20分）确定下面公式中的a,b，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数:)]()([)()]()([2)(2bfafababfafabdxxfba解：将1,x，x2,,x3代入)]()([)()]()([2)(2bfafababfafabdxxfba（4分）得]22[)(][2)(3122233baababaabab（10分）6]33[)(][2)(412223344baababaababa=b=1/2（15分）将1,x，x2,,x3,x4,x5代入公式的两端，可得该公式具有4次代数精确度。（20分）五、（20分）分别利用梯形公式和Simpson公式推导复化的梯形公式和Simpson公式，并分别利用复化的梯形公式和Simpson公式计算积分91dxx(n=8)证:利用梯形公式推导复化的梯形公式（5分）Simpson公式推导复化Simpson公式（10分）解：利用复化的梯形公式91dxx(n=8)=17.22774（15分）Simpson公式计算积分91dxx(n=8)=17.32222（20分）六、（15分）用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10在区间[1,1.5]上的根。（1）要得到具有3位有效数的近似根，须作几次；（2）用二分法求具有3位有效数的近似根。解：须作3次（5分）将[1,1.5][1，1.25],[1.25,1.5]f(1)0,f(1.25)0,（8分）将[1.25,1.5]二分为[1.25,1.375],[1.375,1.5]f(1.375)0,（10分）将[1.25,1.375]二分为[1.25,1.3125],[1.3125,1.375]f(1.3125)0（12分）[1.3125,1.375]的中点为方程f(x)=x3+4x2-10的近似根（15分）七、设是nnR中的任意范数，nnRA，则有AA)(证:设是的任意特征值，x为相应的向量,（2分）则xAx,xAAxxx（8分）AA)(（10分）